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Green公式及其应用(2)

时间:2022-02-09 21:51来源:毕业论文
即(4)在内每一点都有 3 Green公式的应用 3。1 计算第二类曲线积分 (1)封闭曲线可直接利用Green公式计算 例1、计算曲线积分其中L是圆周的顺时针方向。

  即(4)在内每一点都有             

3 Green公式的应用

3。1 计算第二类曲线积分

(1)封闭曲线可直接利用Green公式计算

例1、计算曲线积分其中L是圆周的顺时针方向。

解:设; 那么    且

利用Green公式把曲线积分化为二重积分,再利用二重积分的对称性计算其值。得

(2)非封闭曲线,需要构造封闭曲线再计算

   如果曲线L不是封闭的,需添加一个辅助曲线,使得L与构成一个封闭曲线,再利用Green公式计算。注意:的方向应该与L的方向一致。

例2、计算其中是的上半圆弧,顺时针。文献综述

解:设, 

 由于L不是封闭曲线,故构造曲线:线段AO,方向从A到O

 则由公式

     

(3)封闭区间里含有奇点的情况

 构造包含于L的封闭区间将奇点剖去,再利用公式计算

例3、计算其中是以点为圆心,为半径的圆周

,L为逆时针方向。

解:显然当

当时,由公式得

当时,存在奇点(0,0),构造(),且足够小

并使完全包含于L内,那么在L与所围成区域内利用公式可得:

3。2 曲线积分与积分路径的关系

   若函数在单连通区域内连续,且则沿内的任一光滑闭曲线的积分

         

与路线无关,只与起点及终点有关。来~自,优^尔-论;文*网www.youerw.com +QQ752018766-

例4、设是任一一条分段光滑的闭曲线,求证:与路线无关。

证明 令

      则在平面内成立。

      故由Green公式,

             

例5、设为连续函数,且C为逐段光滑的闭曲线,试证:

只与曲线C的起点和终点有关,而与所取路径无关。

证明: 本题只假定为连续函数,并不可微,不能利用充要条件

但由定理2可知,当四个结论出现任意一个,即可推知其他三个结论必存在。 

   在本题中,因为连续,故可积,令

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