即(4)在内每一点都有
3 Green公式的应用
3。1 计算第二类曲线积分
(1)封闭曲线可直接利用Green公式计算
例1、计算曲线积分其中L是圆周的顺时针方向。
解:设; 那么 且
利用Green公式把曲线积分化为二重积分,再利用二重积分的对称性计算其值。得
(2)非封闭曲线,需要构造封闭曲线再计算
如果曲线L不是封闭的,需添加一个辅助曲线,使得L与构成一个封闭曲线,再利用Green公式计算。注意:的方向应该与L的方向一致。
例2、计算其中是的上半圆弧,顺时针。文献综述
解:设,
由于L不是封闭曲线,故构造曲线:线段AO,方向从A到O
则由公式
(3)封闭区间里含有奇点的情况
构造包含于L的封闭区间将奇点剖去,再利用公式计算
例3、计算其中是以点为圆心,为半径的圆周
,L为逆时针方向。
解:显然当
当时,由公式得
当时,存在奇点(0,0),构造(),且足够小
并使完全包含于L内,那么在L与所围成区域内利用公式可得:
3。2 曲线积分与积分路径的关系
若函数在单连通区域内连续,且则沿内的任一光滑闭曲线的积分
与路线无关,只与起点及终点有关。来~自,优^尔-论;文*网www.youerw.com +QQ752018766-
例4、设是任一一条分段光滑的闭曲线,求证:与路线无关。
证明 令
则在平面内成立。
故由Green公式,
例5、设为连续函数,且C为逐段光滑的闭曲线,试证:
只与曲线C的起点和终点有关,而与所取路径无关。
证明: 本题只假定为连续函数,并不可微,不能利用充要条件
但由定理2可知,当四个结论出现任意一个,即可推知其他三个结论必存在。
在本题中,因为连续,故可积,令
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