情况一：对于具有旋转对称轴的像差函数
对于拥有圆形光瞳的光学系统，它的像差函数的展开形式是一个泽尼克多项式 的完整的集合，而得到的这一系列项在单位圆内是正交的，该像差函数的形式如下：
                                               （2.1）
在这里， 是由目标点的位置的展开项系数决定的，n和m是正整数（包含零）， 且为偶数，同时
                                      （2.2）
是正交情况下的泽尼克多项式，其中 是克罗内克（Kronecker） ,同时
                                       （2.3）
是含有 , ,,以及 的 的 次多项式。径向圆多项式 是 的偶数次还是奇数次的多项式，是由 或 的奇偶性决定的。与之相似，当 ， ,当 是奇数时， , 是偶数的时候， 。泽尼克多项式具有正交性，利用下面的等式加以验证
根据下式可以计算出泽尼克多项式展开项的系数
此式的作用和正交关系式（2.1）的作用重叠。
泽尼克多项式具有唯一性，这是由于它是只包含 和 这两个变量的多项式。泽尼克多项式有如下特点：单位圆上保持正交性；当坐标轴绕圆心旋转时，它的数学形式保持不变；每对允许的 和 值均存在泽尼克多项式[17]。

情况二：对于不含旋转对称轴的像差函数
对于没有包括旋转对称轴的光学系统，它的像差函数由 项和 项这两个项组成。而根据实际情况，它是由误差造成的，大气扰动和加工等因素都能对这类误差有所贡献。这种像差函数及其展开方式是由Noll在1976年提出的。本文为了得到表征波面斜率的正交多项式，采用的正是这一种展开方式。根据Noll的规则展开像差函数，就能够得到形式为正交泽尼克多项式 的展开式
                                                    （2.8）
此处 是展开项的系数，于是这个多项式能够表示为
 是式（2.3）中得到的径向多项式。根据前面的讨论， 和 是自然数，同时 是偶数。由于参数 表示多项式的最高阶 ，它表示多项式的径向度数或者阶数， 可以称作方位角频率[17]。 表征波面斜率的正交多项式研究(3):http://www.youerw.com/tongxin/lunwen_25589.html