各向同性介质填充场域时矢量有限元法系数矩阵的推导

摘要：矢量有限元法是计算电磁学的主流方法之一，它对场域的剖分有很大的灵活性，特别适用于分析复杂边界和非均匀介质。本文对场域中分别填充各向同性和各向异性介质且剖分单元分别为矩形块单元和四面体单元时的矢量有限元法的系数矩阵进行了推导。68347

毕业论文关键词：矢量有限元，矩形块单元，四面体单元，系数矩阵

Abstract: Vector finite element method is one of the major numerical methods in computation electromagnetics. Due to its versatility and flexibility, the VFEM is capable of modeling complicated boundary structures as well as inhomogeneous materials. In this paper, the coefficient matrix of VFEM is deduced in the case of isotropic dielectric and anisotropic dielectric, respectively.

Keywords: vector finite element method, hexahedron unit, tetrahedron unit, coefficient matrix

1 引言 3

2 各向同性介质填充场域时矢量有限元法系数矩阵的推导 3

2.1 六面体单元 3

2.1.1 六面体单元的形状函数 3

2.1.2 六面体单元的系数矩阵推导 5

2.2四面体单元 8

2.2.1 四面体单元的形状函数 8

2.2.2 四面体单元的系数矩阵推导 9

3各向异性介质填充场域时矢量有限元法系数矩阵的推导 12

3.1 六面体单元的系数矩阵推导 12

3.2四面体单元的系数矩阵推导 16

结论 19

参考文献 20

致谢 21

1 引言

有限元方法是近似求解数理边值问题的数值方法之一，它在20世纪40年代被用于电磁场领域，并受到了学者们的广泛研究。计算机的出现和发展为数值计算方法提供了有效的运算工具，同时也促进了计算电磁学的发展，有限元法作为一种常用的数值计算方法，已被广泛应用于物理和工程设计等领域。

有限元法是基于虚功原理和变分原理之上，吸收差分格式的思想发展起来的。用有限元法求解电磁学问题并不直接去求解场的微分方程，而是求解其对应的变分问题，具体求解时将所关心的场域剖分为有限个单元，然后由插值函数表示每个单元的未知场量。而插值函数包括着每个单元的各节点处的未知场量。但是当用标量有限元法分析矢量电场或磁场时，会遇到下面几个严重的问题。首先，会出现非物理解即所谓伪解，该解通常是由于未强加散度条件而引起的。其次，在材料界面和导体表面强加边界条件的不方便。再次，处理导体和介质边缘及角也有一定困难性，这是由于这些结构相关的场的奇异性造成的，因此有必要探讨其它的可能性或其它的方法，而不仅仅是改进，从而将电磁场有限元分析引入一个新的时代。

矢量有限元方法（EB-FEM）的引入极大的提高了这项技术的性能。这种方法对经典的有限元法进行了改进，它将自由度赋予棱边而不是赋给单元结点，使得该方法很容易在金属边界及介质表面强加边界条件且不需要对尖劈边缘以及顶点进行特殊处理，分析过程大为简化。用矢量有限元法分析所有的电磁场问题时，都会涉及到系数矩阵的计算，而一般的文献中只给出各向同性介质填充时的系数矩阵的计算。本文在已有文献的基础上，对场域中分别填充各向同性和各向异性介质且剖分单元分别为矩形块单元和四面体单元时的矢量有限元法的系数矩阵进行了推导。各向同性介质填充场域时矢量有限元法系数矩阵的推导:http://www.youerw.com/tongxin/lunwen_76868.html