几何概率问题探讨(2)
1.概率的概念
1.1概率论和概率
概率论研究的是随机现象数量规律.随机现象是相对于决定性现象而言的,在一定条件下必然发生某一结果的现象称为决定性现象.例如在标准大气压下，纯水加热到 时必然会沸腾.随机现象则是指在基本条件不变的情况下，每一次试验或观察前，不能肯定会出现哪种结果，呈现出偶然性。例如，掷一枚硬币，可能出现正面或反面.
概率，又称或然率、机会率、机率（几率）或可能性，是概率论的基本概念.概率是对随机事件发生的可能性的度量，一般以一个在0到1之间的实数表示一个事件发生的可能性大小.越接近1，该事件更可能发生；越接近0，则该事件更不可能发生.人们常说某人有百分之多少的把握能通过这次考试，某件事发生的可能性是多少，这都是概率的实例.
概率的公理化定义作为概率论发展史上的一个里程碑，在这个公理化定义之后，概率论得到了迅速发展.设 是一个样本空间, 为 的某些子集组成的一个事件域.如果对任一事件 ，定义在 上的一个实值函数 满足：
（1） 非负性公理 若 ，则 ，
（2） 正则性公理 ，
（3） 可列可加性公理 若 ，互不相容，则 ，则称 为事件 的概率，称三元素 为概率空间.
概率的公理化定义刻画了概率的本质，概率是集合（事件）的函数.若在事件域 上给出一个函数，当这个函数能满足上述三条公理时，就被称为概率.然而公理化定义没有告诉人们如何去确定概率，古典定义、几何定义、主观定义都在一定的场合下有着各自确定概率的方法.
1.2古典概型到几何概型
概率论历史上最先开始研究的是古典概型.如果一个随机试验所包含的单位事件是有限的，且每个单位事件发生的可能性均相等，则这个随机试验叫做拉普拉斯试验，这种条件下的概率模型就叫古典概型.在这个模型下，随机实验所有可能的结果是有限的，并且每个基本结果发生的概率相同.例如：掷一次硬币的实验（质地均匀的硬币），只可能出现正面或反面，由于硬币的对称性，总认为出现正面或反面的可能性是相同的.古典概型是概率论中最直观和最简单的模型；概率的许多运算规则，也首先是在这种模型下得到的.
与古典概率相对的就是几何概率，几何概型是将等可能事件的概念从有限向无限的延伸,随机试验中有事会出现单位事件是无限的情况.此时就需要利用几何概率来解决，几何概型与古典概型的区别就在于实验结果的无限性. 例如往一个方格中投一个石子，石子落在方格中任何一点上,出现的结果是无限多个，属于几何概型.一个试验是否为几何概型在于这个试验是否具有几何概型的两个特征——无限性和等可能性.
2.确定几何概率
了解几何概率的定义，下面就如何确定概率的几何方法展开讨论.首先，解决这一问题的基本思想是：
（1） 如果一个随机现象的样本空间 充满某个区域，其度量（长度、面积或体积等）大小可用 表示.（如图1）
（2） 任意一点落在度量相同的子区域内是等可能的，比如在样本空间 中有一单位正方形A和直角边为1和2的直角三角形B，而点落在区域A和区域B是等可能的，因为这两个区域面积相等.
（3） 若事件A为 中的某个子区域（如图2），且度量大小可用 表示，则事件A的概率为：
；
这个概率称为几何概率，它满足概率的公理化定义。求几何概率的关键是对样本空间 和所求事件 用图形描述清楚，然后计算出相关图形的度量 .
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