毫秒激光打孔过程中熔融喷溅物的温度分析(4)
（2.1.4）
的形式。上式中： 表示金属板上表面中心o点的温度， 表示热渗透温度。上式满足热传导方程（2.1.1）和边界条件（2.1.2），将其带入，当r=0且z=0时有：
（2.1.5）
（2.1.6）
式中： 为热扩散系数且有 。然后将（2.1.6）式带入（2.1.5）式，再解这个微分方程，就能得到温度 的解析表达式：
（2.1.7）
由初始条件可得：
（2.1.8）
则由（2.1.6）-（2.1.8）得到热渗透深度为：
（2.1.9）
此外，根据式（2.1.3）和（2.1.7）还可以得出厚金属板中心点处开始熔融的时间为：
（2.1.10）
对应的熔融阈值为
， （2.1.11）
2.2 熔融阶段
材料中心点处的温度达到了熔点Tm，则开始进入熔融阶段，此时刻为 。我们分三部分来计算熔融阶段的温度，熔融潜热会使中心点温升出现延迟现象，首先我们要将这一过程考虑在内，然后再将材料分为固态和液态两种情况，再对这两种情况分别求解。
首先温升是需要吸收能量的，此外，金属由固态转变为液态的过程中还需要吸收一部分能量，这部分能量称为熔融潜热Lv，如果金属材料以固定不变的速度来吸收入射激光的能量（ ），那么中心点的温升过程中就会出现延迟的现象。为了将这个过程表示出来，我们假设中心点温度一直保持为某一温度，设为Tm，当中心点吸收了足够的能量使其温度上升到 之后，中心点温度才开始上升，故而中心点温度再次上升的时刻为
， (2.2.1)
。
2.3 打孔速度
在一文情况下，液态喷溅的热传导方程可由下式表示[20]：
（2.3.1）
边界条件为：
其中，T表示温度， 表示激光的光强，k表示热传导系数， 表示打孔速度，δ为材料的吸收系数。 是焓，C为材料的比热容， 表示材料的密度，Lm（J/m3）表示融化潜热，符号 表示当T大于材料的熔融温度时，其值为1，否则为0。μ表示气化速度
（2.3.4）
其中， Ts为材料表面温度， 为气化系数， M=4.3425×10-23 g/molecule铝的原子质量，kB=1.38×10-23 J/K为波尔兹曼常数， 表示当温度为Ts时的平衡蒸汽压强，可以用下式来表示：