四辊可逆式热轧轧机轧辊弯曲变形分析(3)
① 多项式数应该等于单元自由度数。
② 多项式阶数应包含常数项和线性项。
③ 单元自由度应该等于单元节点独立位移个数。
位移矩阵为 （2.1）
式中， 为单元内任一点位移； 为单元节点的位移； 为形函数。
（3）推导单元刚度矩阵
根据单元的材料性质、尺寸、形状、节点数目、位置，其含义等，找出单元节点力和节点位移的关系式，这是单元分析中的关键一步。此时，需要应用弹性力学中的几何方程和本构方程来建立力和位移的方程，从而推导单元刚度矩阵。
利用弹性力学几何方程，由式（2.1）可导出节点位移表示的单元应变为
（2.2）
式中， 为单元应变矩阵。
由本构方程，导出用节点位移表示的单元应力为： （2.3）
式中， 是与单元材料有关的弹性矩阵。
由变分原理，建立单元上节点力与节点位移间的关系式，平衡方程为：（2.4）
式中， 为单元刚度矩阵，其形式为： （2.5）
（4）计算等效节点载荷
划分网格将连续弹性体结构离散为离散化模型之后，就假定单元体之间不再通过公共边相互作用，而只依靠节点连接和传递力的作用，所以，作用在单元体上的所用的力，都必须全部移置到节点上，形成等效的节点载荷，单元的节点载荷可以用矩阵 表示。
（5）建立单元体集合体的节点平衡整体方程组
以节点为研究对象，作用在其上的力有节点力和节点载荷。根据节点平衡条件可逐点建立平衡方程，从而得到单元集合体节点的平衡方程组，可以表示为：
（2.6）
其中 为整体节点载荷列矩阵， 为整体节点位移列矩阵， 为单元集合体的整体线性刚度矩阵，对于线弹性问题 的元素均为常数，因此节点平衡方程组（2.6）是一个线性代书方程组。
（6）求解
节点平衡方程组中待求的未知量是节点位移 ，求解此代数方程组即可得到所有节点的位移分量。节点位移 求得后，各单元的节点位移 即可知道，从而可以由式（2.2）计算单元应变，由式（2.3）计算单元应力，还可以进一步计算单元的主应力，主平面倾角等。需要时，还可以计算支座反力，还可以令计算机绘制物体变形前后的图形，以及应力和位移的分布图形等。
本课题的有限元分析计算，选择使用的是大型通用有限元分析软件-ANSYS。ANSYS软件当前使用范围最广泛、功能最前大的有限元分析软件，它具有强大的多种分析能力，能够进行包括简单的线性静态分析和复杂的非线性动态分析。其强大的分析能力可广泛用于结构、流体、电磁场、热、声学及碰撞问题、多物理场耦合问题的计算分析。软件包含了前处理、求解、后处理及优化等模块，可完成从建模、网格划分、求解到后处理、优化等有限元分析过程。软件提供了100多种单元类型，可以用来模拟计算各种材料和结构问题。软件可运行于大多数的计算机及操作系统，如Windows、UNIX、Linux等，可以在从PC到工作站直至巨型机等多种计算机设备上运行，并且ANSYS文件在其所有的产品系列和工作平台上均能够兼容。
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