matlab高层建筑TMD风振响应分析仿真+文献综述(5)
式中m，c，k保留正定对称的假设，只是阻尼矩阵c已不满足可对角化的条件式
c
这时，实模态变换已无法使系统(3.1.1)解耦。我们直接来求解系统(3.1.1)所对应的齐次方程的特征值问题。这一系统的特征值仍可表示为
由此可求出它的2n个根 ，i＝1，…，2n，称为系统的特征值。 一般是复根。由阻尼矩阵c为正定的假设，系统的零解是渐进稳定的。各个 一定具有负实部。由于特征方程的系数是实的，所以复特征根都是共轭成对地出现的。对应于每个特征根，有如下特征的矢量方程：
i＝1，…，2n
由此，准确到一个常数乘子，可确定2n个n文特征矢量 ，i＝1，…，2n。对应于实特征根的特征矢量是实的；对应于共轭复特征值的特征矢量必定是复共轭的。而且这2n个n文复特征矢量不是线性独立的，它们之间应满足的线性关系式留待以后给出。由系统的2n个复特征值可构成一个2n阶对角方阵，称为特征值矩阵
P＝diag[ ] i＝1，…，2n
其中各个 的排列次序原则上是可以任意的，但也不妨把它们排的规则一些。假设系统的特征根都是单根，其中有l对复共轭特征根，剩下2（n－l）个为实特征根，于是，可先复后实地排列为
，… ； ，… ； ，…
且有 i＝1，…，l
由系统的2n个特征矢量可构成一个n*2n阶特征矢量矩阵u
它们的排列次序对应于P中特征值的次序。为了用复模态变换来使系统(3.1.1)解耦，还必须先将系统(3.1.1)化为一阶方程组。为此，引入状态变量
则方程(3.1.1)改写成
不难验证 i=1,…,2n
就是方程(3.1.3)确定的一组特征矢量。因此，系统(3.1.2)的2n*2n阶特征矢量矩阵可以记为
U≡ ＝
可以证明，系统(3.1.2)的各个特征矢量之间有如下加权正交性
当i≠s当i＝s时，有
i＝1，…，2n (3.1.4)
与 分别称为第i阶模态质量参数与模态刚度参数，它们一般为复数，并且对应于共轭的特征值，相应的参数也是共轭的。
利用矢量特征 的上述正交性，可以将复模态矩阵U作为变换矩阵，对系统(3.1.2)进行解耦。即引入如下复模态变换：
y＝Uz=
对方程(3.1.2)前乘以 ，并将上式代入后，可得
diag[ ] diag[ ]z= (t)=
式中
diag[ ]=
注意到式(3.1.4)，上述方程又可写为
(3.1.5)
式中
i=1，…，2n
将方程(3.1.5)写成分量形式，有
＝ ＝ i=1，…，2n (3.1.6)
由此可见，借助于复模态变换，系统(3.1.1)最终可归结为2n个已解耦的一阶方程(3.1.6)。这就是说，一般对称情况下的线性阻尼系统的响应问题，总可以通过复模态变换，分解为2n个一阶系统的复模态响应问题。后者的求解显然要简便得多。还值得注意的是多自由度系统的模态响应方程(3.1.6)与单自由度系统的复模态响应方程形式上完全一样，只不过多自由度情形的方程数目已扩展到2n个。因而，由单自由度系统随机响应分析所得的解析结果完全可以推广用于多自由度系统。
现在来看2n个特征矢量 之间满足的线性关系。对式(3.1.5)前乘以u，有
u ＝udiag[ ] (3.1.7)
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