4.5  本章小结 19

5  具有连续接种且带隔离项的SEIQR传染病模型 19

5.1  引言 19

5.2  模型的建立 19

5.3  平衡点的存在性 20

5.4  无病平衡点的稳定性 22

5.5  地方病平衡点的稳定性 23

5.6  对于模型的讨论 24

5.7  数值模拟 24

5.8  本章小结 26

结  论 28

致  谢 29

参考文献 ………30

1  绪论

1．1  传染病动态模型的发展历史及其现状

有关传染病传播的动态数学模型准确地说是始于20世纪，在1927的时候，Kermark和Mekendrick做出了奠基性的成果，他们利用动力学的方法建立了传染病的SIR模型（即KM模型），自此以后便揭开了传染病数学建模研究的篇章。他们将总人口分为易感染者，患病者和复原者三类，利用动力学方法建立了传染病模型，同时研究了疾病的传染规律和流行趋势，并且提出了阀值理论来预测疾病传播与否，如果种群中的易感染者数量高于阀值，则疾病将继续存在，反之低于阀值，疾病将趋于灭绝，从这里可以看出，如果要防止疾病的蔓延，只需要将易感人者的数量控制在一定范围中就行了。此后，在他们提出阀值理论之后，其中一个重要的阀值参数便被提了出来，那便是基本再生数，它的意思是指在发病初期，当种群中的所有个体都是易感者的时，在一个平均患病期内一个患病者所传染的易感者的数量。在这个领域中，很多学者都有着一个共识，在判断传染病流行与否，基本再生数是一个很重要的阀值参数。所以，很多研究传染病的模型学者都在致力于寻找基本再生数的工作。文献综述

在KM模型被提出之后，不断有新的传染病模型被提出，其中较为简单的便有SIS,SIR模型，下面就简单介绍一下SIS和SIR模型：

对于SIS而言，在KM模型基础上做了患病者痊愈之后依然能够被重新传染的假设，它的图解形式如下：

其中沿用KM模型将考虑对象分为易感者和患病者，易感者，其数量记为 ；患病者，其数量记为 。

对于建立SIS模型有以下几个假设： 

(1)感染者I与易感者S的所有个体在人群中是均匀分布的。

(2)因为人群的数量N足够大，所以就只考虑传染过程的平均效应。

(3)易感者感病的可能性与他接触患病者的机会成正比。

(4)传染病的传染率k为常数。 

(5)不考虑出生于死亡的过程和人群的迁入与迁出。 

(6)感染者以固定的比率h痊愈，而重新成为易感者。

而对于SIR模型而言，将总人口分为以下三类：易感者，其数量记为 ；患病者，其数量记为 ；移出者，其数量记为 ，表示t时刻已从患病者中移出的人数。设总人口为 ，则有 。

它的图解形式如下：

SIR模型的建立基于以下三个假设：

(1) 不考虑人口的出生、流动、死亡等自然因素。人口总数始终保持一个常数，即 。

(2) 患病者只要与易感者接触就必然具有一定的传染力。假定t时刻单位时间内，一个患病者能传染的易感者数量与此种群内易感者总数 成正比，其中 为其比例系数，因此在t时刻单位时间内被所有患病者传染的人数为 。 源.自/优尔·论\文'网·www.youerw.com/