当考虑碰撞时，分子运动的速度和路径会发生改变，原本在 中的气体分子 不再全部转移到 ， 的 中，而原本不在 中的一些气体分子也将可能由于碰撞转移到 ， 的 中，引入碰撞项 表示由于碰撞导致的 的增加，则：

结合式(2-1)和式(2-4)可得：

式(2-6)就是粒子速度分布函数 演化的控制方程，即Boltzmann方程。

理论上来说，通过求解Boltzmann方程，可以对流体的宏观运动进行模拟，然而由于式(2-6)中的碰撞项是粒子速度分布函数的非线性项，使得Boltzmann方程的求解变得极为困难，正因为此，后来人们提出了许多近似解法，其中较为著名和常用的一种近似方法是BGK近似。文献综述

BGK近似是由Bhatnagar等人于1954年提出[9]，其主要内容是引入一个简单的算子 代替Boltzmann方程中的碰撞项 ，简单算子 的表达式为：

其中 是对应于速度分布函数的Maxwell平衡状态， 是一个与弛豫时间 有关的常数，而 表示两次碰撞的平均时间间隔，二者的关系为：

如此一来，最初的Boltzmann方程就变成了近似处理之后的Boltzmann-BGK方程：

2。2。2  格子Boltzmann方法的基本原理

将Boltzmann方程的进行一系列特殊离散就可得到格子Boltzmann方程。这些离散处理包括速度离散、时间离散、空间离散。处理之后得到的格子Boltzmann方程为：

其中， 是时间步长， 是粒子的离散速度， 是与离散速度对应的分布函数， 是碰撞项对 演化的贡献，定义格子速度 。如果对Boltzmann方程也进行BGK近似，则可得到格子Boltzmann-BGK方程：

式(2-11)是不包含外力项的格子Boltzmann-BGK方程，其中 是与离散速度 对应的平衡态分布函数， 是无量纲的弛豫时间。式(2-11)具有二阶数值计算精度，在具体的实施过程中，分布函数的演化过程通常被分为碰撞和迁移两个过程。

在目前所有的格子Boltzmann模型中，单松弛(SRT)模型或格子BGK(LBGK)模型的使用最为广泛，而1992年Qian等人[10]提出的DnQm（n维空间，m个离散速度）模型又是其中最具有代表性的，主要有D2Q7模型、D2Q9模型、D3Q15模型、D3Q19模型等。在DnQm模型中