由复模态变换式可得
 ，x＝uz
因而式(3.1.7)左端恒等于零，而右端中的f(t)是任意的，故有
udiag[ ]
这就是2n个复模态 之间存在的n个线性关系式。
3. 2  共轭复指数随机激励情形[14]
下面考察非对称、非经典阻尼常参数线性系统对各种典型平稳随机激励的响应特性。系统的运动微分方程可用式(3.1.1)表示，即
 
式中f(t)为具有零均值的平稳随机激励，其协方差函数矩阵记为
 
设系统(3.1.1)经复模态变换后，已解耦成式(3.1.5)
这时，系统的广义激励F(t)也具有零均值，且其协方差函数矩阵可表示为
 =
方程(3.1.6)的分量形式可写为
                    i=1，…，2n      (3.2.1)
上述方程的脉冲响应函数为
     t 0，i=1，…，2n
与之相应的频率特性函数可表示为
      i=1，…，2n
于是，系统(3.2.1)的平稳解可表示为
        i=1，…，2n
因而复模态响应 与 的互协方差函数可表示为
E[ ]=       (3.2.2)
系统(3.2.1)的脉冲响应矩阵为
h(t)=diag[ ]
相应的频率特性矩阵为
H =diag[ ]
而矢量模态响应z的协方差函数矩阵可表示为
要进一步求积式(3.2.2)与式(3.2.2)，必须首先给出 的具体函数形式。一旦求得了复模态响应z的协方差函数矩阵 ，则由复模态变换式，立即可以得到系统状态变量响应的协方差函数矩阵
注意到，由复模态变换式求导可得
 可见，若要知道系统响应加速度的协方差矩阵，还得先求复模态响应速度的协方差矩阵。由式（e）
因而有
E[ ]=E[F(t) ]+PE[ ] +PE[ ]+E[F(t) ]
且有
E[ ]= d
E[F(t) ]= d
给定了 的函数形式，就不难求出上述两个积分。然后，由式（e），可得
下面考察共轭复指数随机激励情形，设系统(3.1.1)中的平稳随机激励f(t)为同源的二阶过滤白噪声，其均值为零，协方差函数矩阵可表示为
 其中，D是n*n阶实对称非负定常数矩阵，g与q为复常数，且q具有复实部。系统的复模态运动微分方程仍取式(3.1.5)的形式。只是其广义激励F(t)的协方差矩阵可表示为

G [ ] =       i,s=1，…，2n
仿照关于单自由度情形中的推导，这时复模态响应 与 的协方差函数可得为 matlab高层建筑TMD风振响应分析仿真+文献综述(6):http://www.youerw.com/wuli/lunwen_2960.html