其中 ，它与磁化强度的方差相互联系。

3 该系统的预期行为自由能满足： 其中 。

当自由能F最小时，该系统接近平衡。

 在低温条件下，自旋之间的相互作用会加强，并且自旋会趋向于排列整齐。在这种情况下，根据公式其磁化强度达到它的最大值|M|=1，即使没有外部磁场的存在，磁化仍会存在。

 在高温条件下，该相互作用会减弱，自旋是随机向上或者向下的。所以，磁化强度的值接近为M=0。几种构型搭配：该系统处于亚稳定状态。

 在一个特定的温度下，磁化会消失。

 存在着这样一个过渡过程。在无外部磁场的情况下，该临界温度被称为居里温度 （由昂萨格的理论得到）。根据过渡阶段理论，在过渡阶段自由能在B和T中的二阶导数是不连续的；作为用它们的导数表示的热容量(Heat capacity)和磁化率(Susceptibility)，它们应该是在临界温度处发散。

4 蒙特·卡罗模拟方法

N2点阵在低温下随着自旋趋向于对齐或在高温下用随机值（0.5或-0.5）来进行初始化。然后，给定温度下的演化是在确保一个玻尔兹曼分布的条件下通过使用Metropolis算法来实现的，即该系统在 组态的概率由下式给出：其中 。

蒙特·卡罗方法包括随机地选择一个晶格内自旋翻转。如果选择的自旋是有利于能量（能量减小），则进行翻转；但系统也会以一定的概率像不利于能量（能量增大）的状态演化，该概率由温度T来确定。否则系统会比较规则地沿着有利于能量（能量减小）的方向演化，系统趋向于相对有序。该系统有 中组态，Metropolis算法允许未测试每个组态来达到平衡。波尔兹曼分布使熵值最大化，因此它降低了自由能。文献综述

当能量趋于稳定时，该系统到达了平衡状态。然后，若干组态由Metropolis算法来确定，以确定所关注的热容量和磁化率的值。在磁场的存在下，自旋将会与磁场相对齐。

以温度作为横坐标的程序模拟流程为：

（1）生成一个合适大小的二维点阵N2；

（2）生成所构造点阵的最近邻近列表；

（3）二维点阵N2随机填充0.5或-0.5的值；

（4）确定所扫描的温度范围[tlow,thigh]以及温度扫描间隔dt，从tlow开始计算；

（5）选择一个随机的位置翻转自旋，并计算翻转后的能量差。若翻转降低总能量，则无条件接受新的自旋；否则，则以一定的概率接受使总能量增大的自旋状态；

（6）当自旋状态趋于稳定后，则计算并记录在此温度T下的点阵能量(Energy)、热容量(Heat capacity)、磁矩(Magnetic moment)和磁化率(Susceptibility)；

（7）重复第（4）步，进行温度范围内所有温度的计算；

（8）重复计算x次（实验中x=10），计算其平均值，并作图。