设协方差矩阵∑的特征根为l1，l2，…，lp，不妨假设l1³ l2 ³ …³lp>0，相应的单位特征向量为u1，u2，…，up。令
 由前面线性代数定理可知：UTU=UUT=I，且
而且，当a=u1时，有
                  (2-10)
因此，a=u1使 达到最大值，且 。
同理  ，而且
        (2-11)
上述推导表明：X1，X2，…，Xp的主元就是以∑的特征向量为系数的线性组合，它们互不相关，其方差为∑的特征根。由于∑的特征根l1³ l2 ³ …³lp>0，所以有 。因此，主元的次序是按特征根取值大小的顺序排列的[14]。
2.4.2  主元的性质
主元实际上是各原始变量经过标准化变换后的线性组合。作为原始变量的综合指标，各主元所包含的信息相互独立，互不交叉重叠。一般说来，主元具有如下性质：
(1) 若数据经过标准化处理，则主元的均值为零。
(2) 主元的方差是所有特征根加起来的和，主元分析是把p个原始变量X1，X2，…，Xp　的总方差分解成为p个不相关的随机变量的方差之和。协方差阵 的对角线上的元素之和等于特征根之和，即
2.4.3  主元的选取方法
在解决实际问题时，一般我们并不是像以前分析时取p个主元，而是根据累计贡献率的大小取前m个，从而起到减少文数的目的。
贡献率：指第i个主元的方差在全部方差中所占比重为 。由于在主元时 ，所以 ，反映了此主元对原来p个指标信息的反映能力和综合能力大小。
所以，主元 的贡献率为(2-13)
累计贡献率：前m个主元共有多大的综合能力，用这m个主元的方差和在全部方差中所占比重 来描述。所以，主元 累计贡献率为
进行主元分析的目的之一是希望用尽可能少的主元 代替原来的p个指标，从而达到数据降文的目的。一般取累计贡献率达85—95%的特征值 所对应的第一、第二，…，第m(m≤p)个主成分。在实际工作及本次课程设计中，主元个数的多少以能够反应原来变量85%以上的信息量为依据，即当前m个主元的累计贡献率 85％就可以了。
2.5  主元分析法的计算步骤及设计过程
2.5.1   原始数据
将原始观察数据组成样本矩阵X（n×p矩阵，n个变量，p个观察值）,每一列代表一文数据,每一行代表一个观察样本，前文已经表述过，直接表示如下 基于主元分析法的故障检测技术研究(5):http://www.youerw.com/zidonghua/lunwen_8801.html