2  Grouplet变换算法
本章给出了利用这些多尺度关联域重构grouplet正交基，2.2节提出了不需要嵌入网格结构的具有更灵和性的grouplet紧框架，2.3节介绍在Groplet变换基础上与小波变换结合的Grouping Bandlet变换。
2.1  正交Groplet变换
2.1.1  Haar变换
对0≤n＜N，令初始平均信号a[n]最初设定等于输入信号f[n]：a[n]=f[n]。那对从21增加到2J的尺度2j ，和所有0≤n＜2-j N的n，Haar变换计算两个连续系数a[2n]和a[2n+1]均值：（2-1）
结合归一化的差异
在尺度2j上得到的均值a[n]是信号f[n]在区间[2jn, 2jn+2j-1-1]上的均值，细节dj[n]正比于信号在区间[2jn, 2jn+2j-1-1]和[2jn+2j-1, 2jn+2j-1]上均值的差值。对于最大的尺度2J，规范化平均系数aJ[n]=2J/2a[n] 使其可以看作信号f和一个单位向量的内积。得到的集系数{dj[n]，aJ[n]}1≤j≤J，n可以看成信号f和Haar正交基的内积。

2.1.2  嵌入式的关联域
在一个多文的采样网格 取一个多文信号f[n]，根据提升变换，可以定义满足 的嵌入子网格{ }1≤j≤J。对每一个尺度2j，  和 分为互补，这分别被叫做“平均”和“细节”网格。这些网格不相交而且 =  ∪ 。对于每一个平均网格 的平均子网格和细节子网格的拓扑划分是任意的。很明显所有不同网格 是不相关的而且
 
每个 的点都是关联一个 的点，使得 集合的临近点值 “相似”于另一个集合a[m]的临近点值。不同位置的差值是存储在一个关联域数组中:  。由于网格 是嵌入式的，随着尺度2j增加，网格两点间的距离也会增加。因此该关联域Aj 所关联的点的距离也随着尺度2j而增加。
 
图2.1  对基于列的嵌入式网格 划分，定义子网格 （白点)和互补的子网格 （黑点)。该关联域可通过矩阵举例说明。
子网格 的拓扑能适合图像几何规律,甚至可能在尺度2j上发生改变。如果图像的几何结构是沿优先选择的方向延长，则可以沿垂直方向。举例来说,地震图像图2.3有一个水平的几何结构。所以需要对不是同一列的相关点编组。为实现此群组， 分解成其为偶数列组 和奇数列组 。这就定义了基于列的嵌入式子网格。图2.1通过关联的定义来说明嵌入式子网格关联域。如果图像几何结构有规则的垂直几何结构，那 被分解成偶数列行 和奇数列行 。这是定义了基于行的嵌入式子网格。
2.1.3  正交grouplet
正交Grouplet变换是一种多尺度加权Haar变换。对n  ，令初始平均信号a[n]=f[n]。为储存由f计算出a[n]的平均核的支集的大小，建立一个新数组s[n]。在初始化时，由于a[n]=f[n]，得到s[n]=1。
在尺度2j取值从1到2J过程中，对 中的所有点按预定义的顺序进行分组。 的样本点个数为Nj。  是 和点 之间一个可逆映射。n从1到Nj，每一个 都关联一点 。定义关联平均值的差分为Grouplet变换：
                       （2-3）
新的加权均值：   （2-4）
由两个平均点的加权加和得到新的权重：   （2-5）
这些值是储存在 上的：a[m]=a且s[m]=s。
在最大的尺度2j=2J，规范化平均系数（2-6）
grouplet变换关联了一个大小为N的信号f[n]与N个点的一族 grouplet系数 。Grouplet分解不仅包括这些系数还有 个多尺度关联域系数 。
因为grouplet变换是线性的, 每一个不同系数可以写成信号f[n] 与grouplet向量 的内积：
                                     （2-7） 基于Grouplet变换的图像去噪研究+文献综述(3):http://www.youerw.com/jisuanji/lunwen_4272.html