广义积分的收敛性判别方法(2)
时间:2017-06-28 22:57 来源:毕业论文 作者:毕业论文 点击:次
定义 设函数 在区间 + 内，及对 有定义，且在任何有限区间 内可积，若积分 在 下有意义，当积分在 时的无穷极限函数 在区间 + 无穷积分，记作 . 若 ,则称无穷积分 收敛，且值为 .若 不存在，则无穷积分 发散. 类似可定义 在区间 上的无穷积分 ，若 的极限存在，则积分 收敛，否则发散. 当 时, 在区间 上都可积，则 称为函数 在 上的无穷积分，且有 （积分区间具有可加性），当积分 都收敛时，可判定无穷积分 收敛，否则发散. 定义 设 在区间 上有定义，点 的任意右邻域内无界，但在任何区间 上有界可积，若极限 存在，称极限为无界函数 在区间 上的广义积分，记作 ，且无界广义积分 收敛于 ，若极限不存在，则无界广义积分 发散. 被积函数 在点 附近是无界的，故点 成为 的瑕点，从而无界广义积分 又称瑕积分. 类似的可定义瑕点为 时的瑕积分，函数 在区间 上有定义，在 的任意左邻域内无界，但在 上可积则有 ，极限 存在时积分 收敛，极限不存在积分发散. 当函数 的瑕点 , 在 上有定义，在点 的任意邻域内无界，但在 上都是可积的，则有瑕积分 ，当右边两个瑕积分同时收敛时，才可判定左边的瑕积分收敛. 若 都是 的瑕点，且 在 上可积， 则 ，当右边的两个瑕积分同时收敛时左边的瑕积分收敛. 定义 函数 在区域 上有意义，若对每一个固定的 ，无穷积分 收敛，积分 的值为变量 的函数，可表示为 ，称无穷积分 为定义在 上含参变量 的无穷限积分. 1.2 性质 无穷限广义积分 是否收敛取决于积分 在 时是否存在极限，从而根据函数极限和定积分的一些性质可推导出无穷积分的性质. 性质 如果积分 在 收敛，则积分 也收敛，且有 . 性质2 如果积分 均收敛，对 ，可推知积分 的和也是收敛的，则由定积分的可加性可以得出： . 性质3 如果积分 均收敛，则积分 也收敛， 且有 . 性质 如果 在区间 上可积，且积分 收敛，则积分 必收敛，则成立不等式 . 瑕积分的理论与无穷积分的理论是平行的，从而得出瑕积分的性质： 性质5 设函数 的瑕点同为 ，当瑕积分 都收敛时，瑕积分 必收敛，从而有 . 性质6 设函数 的瑕点为 为任一常数，则瑕积分 同敛态，有 . 性质 设 的瑕点为 ，在 的 上可积，当 收敛，积分 收敛，则 . 2.无穷限广义积分和瑕积分的收敛性判别方法 2.1 定义判别法 判别无穷积分的收敛性可利用无穷限广义积分的定义及极限的方法，此法适用于无穷积分所对应的定积分且原函数较容易求出的类型. 例1 讨论无穷积分 收敛性. 解 设 ,对于 且 ， 则有 , 则可知 时， . 而当 时， ， 综上可知，当 时，积分 收敛于 ；当 时，积分 发散. 判别较简单的瑕积分也可利用定义法，此法适用于瑕积分对应的定积分易于解出原函数的类型，且简单快捷. (责任编辑：qin) |