微分方程积分因子的求法(2)
时间:2018-03-20 11:14 来源:毕业论文 作者:毕业论文 点击:次
经过对有关材料的查找和分析，很多教材对一阶微分方程的积分因子的求法多数只介绍了一些简单的情况，如公式法通常是给出一个含有 或者 的一元函数的积分因子，很少涉及到二元的情况，对积分因子的求法也没有一个系统的概括，因此积分因子的求法具有广阔的研究空间. 本论文将基于积分因子的定义和性质，通过不同的分类方法，在原有的求积分因子方法的基础上，对各种求法进行深化和扩充，总结归纳并讨论一阶微分方程的积分因子的求解方法（观察法、公式法及分组法），给出一些方法的使用条件，并对方法的可行性进行证明，结合实际问题加以分析讨论，为解决一些非全微分方程的求解问题提供了更加快捷的工具，避免了某些方程的求解方法的繁杂及盲目. 2几种简单的一阶微分方程的积分因子的求法 2.1观察法 一些简单的常微分方程通过适当分组，根据一些常用的微分方程公式观察，可得到方程的积分因子，这种方法称为观察法. 例1求解方程 . 解 首先，将分母有理化，把方程变为 , 再写成对称式 , 即 . 注意到方程的第一组为 的全微分，第一组可乘微分函数 后仍然是二元函数的全微分方程.又注意到第二组形式为 ，因而取 . 于是方程变为 , 即 . 或者写 . 通过观察法求积分因子，第一步是要把方程进行适当的分组，如果其中的一组为二元函数 的全微分方程，则方程可能有形如 的积分因子， 为可微函数，最终形式由方程的其他组的形式确定. 例2求解方程 . 解 把方程重新组合为 , 即 . 同样注意到方程的第一组为 的全微分，第一组可乘微分函数 后仍然是二元函数的全微分方程.又注意到第二组形式为 ，尽量化为关于 的微分方程，因而可取 ，即取 . 于是方程变为 , 或者 . 所以原方程的通解为 . 且 ， ， 也是方程的解. 例3 求解方程 . 解 重新组合改写为 . 第一项是全微分 ，于是设积分因子通式为 ，如若它是第二项的积分因子，它应满足充要条件 . 即 , . 所以 . 则求得到 . 以 乘原方程，得到 . 得到通解为 . 利用观察法求方程的积分因子，必须掌握一些常见的全微分方程的公式.如 全微分方程 ，根据 . 可以考虑的积分因子是： . 全微分方程是 ，根据 . 可以考虑的积分因子是： . 对于方程 （ ）有积分因子分别为 ， ， ， ， 全微分方程分别是： 例4求解方程 . 解 把方程重新组合变为 , 进一步化为 第一组为 由上可知有多种积分因子使之化为全微分方程，注意到第二组 因而有积分因子 . (责任编辑：qin) |