二元函数的极值存在的判别方法(2)
时间:2018-03-20 11:16 来源:毕业论文 作者:毕业论文 点击:次
1 二元函数的极值概述 1.1极值的概述 若一个函数在一点的某一邻域内每处都有确定的值，而以该点的值为最（小），这函数在该点处的值就是一个极大（小）值. 极值的概念来自数学应用中的最大值与最小值问题.它定义了在一个有界闭区域上的每个连续函数都有它的最大值和最小值，问题要确定它在哪些点处达到最大值或最小值. 函数极值涉及的函数量比较多，尤其以二元及以上函数为主，因此在求解函数极值的过程中经常会遇到复杂的函数极值问题，也会遇到一些有条件限制的极值的求解，在解决这种问题时我们必须考虑限制条件. 综上所述，我们对函数极值的求解方法做一个比较全面的了解是相当重要的.这里主要介绍了二元函数的极值问题，对于一元函数的极值问题不作详细的描述. 1.2二元函数极值的定义 设二元函数 在点( , )的邻域内有定义，对于该邻域内异于 的点 ，如果都有 ，则称 为函数 的极大值;如果都有 则 称为函数 的极小值;极大值和极小值统称为极值;使函数取得极大值的点或者极小值的点 ,称为极大值点或者极小值点;极大值点和极小值点统称为极值点. 2 二元函数极值的低阶判别法 2.1二元函数极值的一阶判别方法 定理1 若函数 在凸区域上有定义,在且在 上连续，点 在 上可导. （1）若 ，则函数 处取得极小值. （2）若 ，则函数 处取得极大值. 注 在代数上是这样定义凸区域的，集合中任取两个点 仍属于这个集合，其中 .即连接两个点的直线段还在集合中. 需要说明的是,二元函数在偏导数不存在的点也可能取得极值,如函数 在原点无偏导数,但在原点取得极小值. 例1 求函数 = + - 的极值. 解 容易知道 的稳定点是 ， 因此 在 取得最小值，由于 每处都存在偏导，故 是函数 的唯一极值点. (责任编辑：qin) |