圆周率的计算及若干猜想问题初探+文献综述(2)
时间:2018-05-06 09:44 来源:毕业论文 作者:毕业论文 点击:次
下面让我们来看看中国古代的情况。在中国,成书大约在一世纪的《周髀算经》上记述了周公和商高的问答,在商高曰“数之法出于圆方”这句话下,有赵爽(公元220年)注(“周三而径一”),东汉科学家张衡提出π= ,而在西汉缉为定本的中国古典数学名著《九章算术》中仍沿用周三径一之说。[2] 1.2 几何法推算时期 在几何法推算时期，古希腊的阿基米德(公元前287–212 年)对于π的计算起着代表性的作用。是他第一个通过有理论的计算得到了π的近似值，阿基米德的方法是以单位圆为基础，分别做它的内接正优尔边形和外接正优尔边形，从而确定了π的下界为3，上界为4。然后，他分别继续在其上的基础上，做圆的内接正12边形以及外接正12边形，然后继续通过勾股定理的方法计算出上界和下界，从而得到比正6边形更加精确的π值，阿基米德依据这个理论，将正多边形的边数逐渐的增大，一直增大到内接正96边形以及外接正96边形，从而得到了π值的下界 和上界 ，到这里他取它们的平均值来作为π的近似值，通过这种算法，π的值大约等于3.141851。阿基米德通过这种融合了迭代算法和数值逼近算法的计算方法，可以说是计算圆周率的第一人。 同样的，在古代的中国，公元263年，也有一名伟大的数学家通过有理论的几何计算得到了π的近似值，他就是中国数学家刘徽。对于刘徽的这种计算π值的方法我们通常称之为“刘徽割圆术”。刘徽的方法也是以单位圆为基础，从圆内接正优尔边形，继续分割，一直计算到圆内接正192边形。在《九章算数》中有记载，他说“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”刘徽的这句话有着数学极限的理论，通过这种方法，刘徽得到了π大约等于3.141024的值，在得到这个值之后，通过检验，刘徽发现这个数值还是有些偏小，于是，不甘心的刘徽继续使用割圆术计算，直到割到内接正1536边形从而计算得到内接正3072边形的面积，刘徽才得到了较满意的答案，这时的π= 大约是3.1416。 1.3 分析法计算时期 在分析法计算时期这个时间段，π的计算，开始由割圆术的庞大计算量中解脱出来，无穷级数和无穷连乘积的方法等等开始脱颖而出，这些方法的现世预示着π值的精确度快速的增加，计算的过程也越来越简便。 第一个使用不同于割圆术算法的π值计算法是由英国数学家梅钦（John Machin）1706年提出的，梅钦的这种计算方法使得π值的小数位精确度突破了百位大关，梅钦的公式如下： ，这其中的arctan x可由泰勒级数计算。为了表彰梅钦的贡献，许多与这种类似的公式都被称之为“梅钦类公式”。 依据梅钦在1706年发布的公式，1789年斯洛文尼亚数学家Jurij Vega通过计算得到了140位圆周率的计算精度，虽然其中有3位是错误的，但这个记录一直保持了50多年，一直到1948年，英国的弗格森（D. F. Ferguson）和美国的伦奇打破了这个记录，他们共同计算并发布了π的808位计算精度，这在当时成为了最高的圆周率计算记录。 1.4 计算机运算时期 计算机的运算高速度，高精度等优点使得π的计算有了更大的突破，在1949年，美国制造的世上首部电脑－ENIAC（Electronic Numerical Integrator And Computer）在试验场阿伯丁启用。次年，冯纽曼、里特韦斯纳和梅卓普利斯利用这部电脑，计算出π的2037个小数位。而且这部电脑仅用了70小时就完成了这项庞大的工作，算上扣去插入打孔卡所花费的时间，等于平均两分钟就算出一位小数。五年以后，IBM NORC（海军兵器研究计算机）仅仅用了13分钟，就计算出了π的3089个小数位。随着科技的不断进步，电脑的运算速度也越来越快越来越精确，在60到70年代，随着英、法、美的电脑科学家持续不断地进行电脑上的竞争提升，π的小数位数值也越来越精确。到1973年，Jean Guilloud和Martin Bouyer以电脑CDC 7600计算到了π的第一百万个小数位。 (责任编辑：qin) |