Volterra人口模型求解Taylor展开和Pade逼近(2)
时间:2018-06-06 21:50 来源:毕业论文 作者:毕业论文 点击:次
无论是在自然界还是在人类社会的现实生活中，有大量的现象都遵循着这样一条基本的规律：某个量随时间的变化率正比于它自身的大小。譬如说，银行存款增加的速度就正比于本金的多少。人口问题也是这一类问题：人口的增长率正比于人口基数的大小。 人口模型经过漫长的演变过程，从开始的Malthus模型[1]到Logistic模型[2]，渐渐地越来越精确。 Volterra人口模型[3]是对人口发展趋势的一种预测与评估，对Volterra人口模型的求解方法也有许多，Volterra人口模型方程是常微分方程的一种，Volterra人口模型在之前已有许多外国的数学家们尝试求解该模型，但是不可否认，他们的求解方法比较复杂难懂，本文在参考了许多求解方法后，提出了一种新的解法，务求用简单的方法得到比较精确的解。 在本文主要是介绍了使用Taylor展开来求解该常微分方程，Taylor展开的求解方法只能求出近似解，无法求出精确解，在这样的前提条件下，能够使近似解越接近于精确解越好，在用Taylor展开的同时，近似解的精确度并不是很高，故在Taylor展开后，本文还用了Pade近似[4]来提高解的精度。 泰勒公式是数学分析中非常重要的内容之一，集中体现了微积分“逼近法”的精髓.近似计算、求解常微分方程的初值问题、判定迭代法的收敛速度、求数值解法的精度、用于牛顿法和用于序列二次规划法.本文就是应用了Taylor公式求近似的计算，解出了Volterra人口模型的近似解。而Pade近似则是对模型求解的一种改进，利用Pade近似使解能更加精确。 2 人口模型发展过程 2.1 Malthus模型[5] 英国的经济系家马尔萨斯是最早研究人口问题的人。他依据百余年的人口资料，经过研究，在1798年发表的《人口论》中最先提出了人口增长模型。模型的基本假设是：任一单位时刻人口的增长量与当时的人口总数成正比。于是，设t时刻的人口总数为 ，则单位时间内人口的增长量即为 根据基本假设，有如下式 （r为比例系数） 令 ，在连续的前提条件下可得微分方程 （2.1） 这就是著名的马尔萨斯人口方程。若假设 时的人口总数为 ，则不难求得上述微分方程的特解为 (2.2) 及任一时刻的人口总数都遵循指数规律向上增长。 曾经有人用这个公式对1700-1961年，二百优尔十多年间世界的人口总数进行了检验，结果发现计算结果与人口的实际情况竟然十分相似！ 然而，随着人口基数的增大，这个公式显露的不足之处也越来越明显。 若假设某时刻的世界人口数为 ,人口增长率为2%，且每经过 年就要翻一倍，代入后则有 可得解之，可知 （年） 根据上式计算结果可以看出世界人口总量大约每经过35年就要翻一倍。 若是以1965年的世界人口33.4亿为基数进行计算，依次类推可以得到如下的一系列人口数据： (责任编辑：qin) |