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摘  要：矩阵的秩是矩阵重要的数字特征之一，它与线性方程组、线性空间等都有着密切的联系。本文从矩阵的定义入手介绍矩阵秩的概念及相关定理,利用矩阵的秩的相关定理及重要结论总结了一些矩阵的秩的重要性质，并给出了这些性质的一些应用实例。94019

毕业论文关 键 词：矩阵的秩，线性方程组，分块矩阵，恒等式

Abstract：The rank of the matrix is one of the important digital features of the matrix, which is closely related to the linear equations, linear space and so on。 In this paper, we introduce the concept of matrix rank and the related theorem from the definition of matrix, summarize the important properties of rank of some matrices by using the correlation theorem and important conclusions of rank of matrix, and give some examples of these properties。

Keywords：Rank of matrix, Linear equations, Block matrix, Identical equation

目    录

1  前言 4

2  预备知识 4

2。1  主要定义 4

2。2  矩阵多项式的秩的性质 4

3  矩阵多项式的秩的应用 6

3。1   矩阵多项式秩的恒等式及应用 6

3。2  分块矩阵在秩的性质方面的应用 7

3。3  矩阵的秩在解线性方程组方面的应用 8

结论 10

参考文献 11

1  前言论文网

矩阵的秩是反映矩阵固有性质的一个重要概念，也是一个很重要的工具，通过本篇论文，可以让我们对矩阵的秩有更加深刻的理解，及灵活运用矩阵的秩分析相关问题有一定的意义和作用。

    本文采用的数学符号与教材高等代数第三版（北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编）一致,并把矩阵 的秩 简记为 。

2  预备知识

2。1  主要定义

1 矩阵多项式的秩的定义

在教材高等代数(北大第三版)中,关于向量组的秩定义如下：向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩。

教材中也证明了定理：矩阵的行秩与列秩相等。且给出矩阵的行秩与列秩的定义：所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩；矩阵的列秩就是指矩阵的列向量组的秩。

从而我们可以总结出矩阵秩的定义：即其行向量或列向量的极大无关组中所包含的向量的个数。

2 矩阵的满秩分解的定义

定义：设 是秩为  的 矩阵，若存在 列满秩矩阵 和 行满秩矩阵 ，使得 。 则称 式为矩阵 的满秩分解．

2。2  矩阵多项式的秩的性质文献综述

2。2。1  矩阵多项式的秩特征定理及多种证法

在高等代数教材(北大第三版)上习题中出现过下列结论:

命题1[1]：设 阶矩阵 满足 ,则 。

命题2[1]：设 阶矩阵 满足 ,则 。

实际上,命题1,命题2的逆命题也成立,但对其逆命题与证明问题,教材中没有提到,其它教科书中也很少涉及。因此经过查阅资料和文献，我们把以上结果推广到下面的定理,并给出它的两种证法。