浅谈导数在解高考试题中的应用(2)

（9）（10）

还有一些函数的和，差，积，商的求导法则，例如：

设，都可导，则

（1）　　　　（2）（C为常数）

（3）　　　　（4）．

2。1　导数在函数中的应用

2。1。1 导数在函数单调性和单调区间中的应用

函数的单调性与一阶导数的关系是即为增函数，即为减函数。一般我们可以把可导函数在上是增函数，表示为，在上是减函数，表示为．

利用导数求可导函数的单调区间，实际上就是解不等式或．若在区间的端点上有意义，也可以写成闭区间的形式．求可导函数的单调区间的步骤可以分为：

①　确定函数的定义域；

②　求导函数的零点；

③　用零点将定义域分成若干个开区间；

④　判断导函数在每个开区间的符号．

例1 （2016 浙江）设，已知有函数

其中，求的最小值．

分析本题主要考查函数的单调性与最值，还有分析问题和解决问题的能力．

解设函数，，

则令，得．在这里就要分析的单调性了，然后确定在哪里取得最小值．当时，，所以在上递减，当时，，所以在上递增，则有 = ．所以，由的定义知，

即例2　（2015江苏）已知函数，试讨论的单调性．论文网

分析本高考题目考察的是导数在判断函数单调性方面的应用，要讨论函数的单调性，就是按照前面讲的四个步骤．

解由于已知，可得

当时，恒成立，所以在R上单调递增；

当时，令，得或0．

在，上，恒成立，所以在，上递减；

在上，恒成立，所以在上递增．

当时，在，上，恒成立，所以在，上递增；

在上，恒成立，所以在上递减．

除此之外，根据导数递增或者递减，我们能在区间上找到一个改变单调性情况的值，这个值即被称为极值，导数在函数极值中的应用也是高考中的一大考点。

2。1。2 导数在函数极值中的应用

函数极值的定义：设函数在附近有定义，则有一下两种情况：①如果在处的函数值比它附近所有点的函数值都大，我们就说是函数一个极大值；②如果在处的函数值比它附近所有点的函数值都小，我们就说是函数的一个极小值．即可归纳为在该点处发生单调区间的变换的点就是我们的极值点．

求可导函数极值的步骤如下：

① 求的根；

② 判断在方程的双侧的单调性以确定极值：如果左侧递增右侧递减，那么在这个根处取得极大值；如果左侧递减右侧递增，那么在这个根处取得极小值；如果双侧单调性相同，那么函数在这个根处无极值．

例3　（2016 全国Ⅱ卷）(1)讨论函数的单调性，并证明当 >0时，；

分析本题先求定义域，然后用导数法求函数的单调性，当时，从而来证明结论．

解的定义域为，可得

，且仅当时，，所以在，单调递增．

因此当时，，文献综述

得 (2)证明：当时，函数有最小值．设的最小值为，求函数的值域． (责任编辑：qin)