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3。1　定理证明

在证明定理时，尤其是常见的三角形正余弦定理的证明及特殊的几何定理证明中，构建向量模型，再使用数量积来证明，更加简捷．

　　应用向量表示三角形三边关系，并将三角形三条边联系起来，转化数量积公式，结合向量平方的意义：向量的平方项就是向量模长的平方．从而证明出正余弦定理．

    例1　证明正弦定理．

证　在 中，过 作单位向量 垂直于 ，则有 与 的夹角为 ， 与 的夹角为 ．

根据题意列出等式

 ，化简上述等式可得 ．

同理可得 ．

即证 ．例2　证明余弦定理．

证　设三角形三边分别对应 ，其中 ，那么其中一条边的平方项为 ．

化简可得同理可证例3　证明勾股定理．

证　设直角三角形 ，其中 ．

由 ，等号两边平方，得 ，

去括号得因为　故 ．

3。2　公式推导

在证明两角和正余弦公式或者两角差正余弦公式时，变形向量数量积公式，就能推导出多角和差的正余弦公式．在证明过程中，要注意两角和与 的大小关系，具体情况具体分析．

例4　推导两角和正弦公式．

证明　在直角坐标系中，设两个单位向量 ，其与 正半轴所形成的夹角分别为 与 ．

当 时， ．

当 时，综上，可知 ．

另外 ．文献综述

同理可证两角和余弦公式，在此不一一证明．

3。3　几何应用

    利用向量数量积可以处理几何问题中的长度，角度和垂直的问题．

1）　求向量长度问题

例5　已知 ，求 ．解　因为得 ．

2）　求点面距问题

例6　已知正方形 的边长为4， 分别是 的中点， 平面 ，且 ，求点 到平面 的距离．

解　如图，建立空间直角坐标系 ，由题设 ， ， ， ， ，可得