导数在中学数学中的应用
时间:2018-08-11 20:52 来源:毕业论文 作者:毕业论文 点击:次
| 摘要 本文归纳总结了导数在中学数学中应用.关键词 中学数学； 导数； 单调性； 函数 在中学数学中，有一个很好的解题工具，那就是导数. 导数不仅是微积分的重要内容之一，也是高考的热点内容之一。导数工具在解题中发挥着重要的作用，在中学数学中运用求导数的方法解决一些问题，如求曲线的切线方程、不等式的证明、数列问题、证明单调性、确定单调区间以及求极值等，与传统的常规方法相比，简洁易懂，具有明显的优势.导数使得高中数学增添了活力. 导数的定义[1] 设函数 在点 的某个邻域内有定义，当自变量 到 处有增量 ，相应的函数取得增量 ，如果 当 时极限存在，则称函数 在 处可导，并称这个极限为函数 在 处的导数，记为 . 导数的几何意义[2] 在某一点 的导数 就是曲线 在 的斜率.26889 毕业论文导数的性质[3] 在 上可导，若任意的 ，有 ，则 在区间 上单调递增；若 ，则 在区间 上单调递减. 一、导数在几何方面的应用 在几何方面，求曲线在某一点的切线方程是非常重要的内容之一.求曲线在一点的切线方程步骤：首先，对 求导，求出曲线在该点切线的斜率；其次，利用已知的切点与斜率，通过点斜式求得切线方程.[2] 例 求平行于直线 并且与曲线 相切的直线. 解 由于所求直线与直线 平行，故 .又由于所求直线与 相切，所以 . 由题意可知 ,故 ,即有 , 所以解得 . 把 代入曲线得 .因此所求直线为过点 且斜率为 的直线： , 即 . 例 求曲线 在点 处的切线方程. 解 由 ,得 , 所以有 . 综上，曲线 在点 处的切线方程为 ,从而所求的切线为 . 二、导数在不等式中的应用 不等式的证明方法有很多，由于不等式与函数有着相关联系，而函数与导数也有着密不可分的联系，因此，可以通过构造函数，利用导数的方法来证明不等式，使证明过程变得简单化，程序化.导数不仅可以用来证明不等式，也可以利用导数来解不等式. （一） 利用导数证明不等式 利用导数证明不等式的步骤：首先，构造函数 ，确定函数 的定义域；其次，对函数 求导得 ；最后，由函数的单调性来证明不等式.[4] 1. 在确定的定义域中证明不等式 例 证明： 时，不等式 恒成立. 证 构造函数 ，则有 ，整理，得 .当 时， ，因此，当 时， 为增函数，所以有 ， ，即 .从而 (责任编辑：qin) |