代数学基本定理的几种证明(2)
时间:2018-11-01 18:37 来源:毕业论文 作者:毕业论文 点击:次
1.基本内容及其推论 如同在复数域 中有且仅有一次不可约多项式，故一次多项式只有一个根，因此对于高次多项式在复数域中的根的存在问题就有了代数学基本定理. 1.1定理的内容 代数学基本定理[1] 在复数域 中，一元 ( )次多项式 至少有一个根，即至少存在一个 使得满足 . 由定理的内容我们可知代数学基本定理是在复数域的范围内建立起来的，即多项式的系数 与它的根都在复数域内考虑.然而一切复数域中的因式分解问题均可归结为对相应的方程求其根，代数学基本定理保证了方程根在复数域中的存在性. 早在9世纪时在代数学中阿拉伯著名的数学家阿尔 花拉子米就以认识到二次方程有两个根，而法国的笛卡尔也在著作《几何》[2]中写到：“任意方程都有和方程中未知量次数一样多的根个数”.而这一伟大的论断从提出后就引起很多学者前仆后继的深入研究.很多有名数学家如达朗贝尔、欧拉、拉格朗日等人也都提出过自己的证明，但都不是很完善，最终由高斯在其1799博士论文中对这定理给予严密的证明，并将这一论断命名为代数学基本定理. 这一定理虽然被称为基本定理但由于当时代数基本上是以解实系数和复系数多项式方程为主要内容，然而代数学后来发展为高等代数，不仅仅局限于在实数域或复数域内多项式根的讨论，因此它并不是最基本的代数定理.但代数学基本定理在基础数学中常系数齐次线性方程的求解，微分方程的特征方程稳定性，数值分析中的插值法等领域有着重要的作用. 1.2定理的推论 推论1 在复数域 中，一元 ( )次多项式 有且只有 个根(重根按重数计算). 或者更强的叙述为任意非零 次多项式都正好有 个根. 证明 由定理易得 有一个根 ，则由代数知识 可写成 ， 其中 为一 次多项式 有一个线性因式 ，重复运用定理即可有一个根得到恰有 个根的结论. 事实上由多项式有一个根可以用它的线性因式去除此多项式即可从一个根得到恰有 个根的结论. 在推论1的基础上我们很容易进一步得出如下的结论： 推论2 每个 次多项式 都可以表示成 的形式. 为证明这个定理我们首先证明一个引理： 引理1[9] 设函数 为一个非零的整函数且满足如下条件： 存在整数 , 以及自然数 ， (责任编辑：qin) |