向量组线性相关性的性质探究(2)
时间:2019-01-14 21:26 来源:毕业论文 作者:毕业论文 点击:次
则称向量组 线性相关． 定义 对 文向量组 ,仅当数组 , ,…, 全为0时,才有 则称向量组 线性无关． 定义 对于单个向量 ：若 ,则 线性相关;若 ,则 线性无关． 定义 对于两个向量的向量组,若对应分量成比例,则该向量组线性相关, 否则线性无关. 定义 设有两个向量组 : 及 : , 中每个向量都能由向量组 线性表示,则称向量组 能由向量组 线性表示.若向量组 与向量组 能互相线性表示,则称这两个向量组等价. 定义 向量组的秩：设向量组为 , 若 (1) 在 中有 个向量 , ,…, 线性无关; (2) 在 中任意 个向量线性相关（如果有 个向量的话)． 称 , ,…, 为向量组 的一个极大线性无关组, 称 为向量组 的秩,记 作：秩 ． 定义 所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩;矩阵的列秩就是指 矩阵的列向量组的秩. 定义 在一个 矩阵 中任意选定 行 列,位于这些选定的行和列的交点上的 个元素按原来的次序所组成的 级行列式,称为 的一个 级子式. 1.2 向量组线性相关性的相关定理 定理 一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量. 定理 矩阵的行秩与列秩相等且等于矩阵的秩. 定理 矩阵 的行列式为零的充分必要条件是 的秩小于 . 定理 如果齐次线性方程组 （1） 的系数矩阵 的行秩 ,那么它有非零解. 定理 一矩阵的秩是 的充分必要条件为矩阵中有一个 级子式不为零,同时所有的 级子式全为零. (责任编辑：qin) |