Beta函数及其应用+文献综述
时间:2019-04-07 18:16 来源:毕业论文 作者:毕业论文 点击:次
| 摘要 Beta函数和Gamma函数是数学分析里两个非常重要的积分，文章重点介绍了Beta函数的性质及其证明，以及Beta函数和Gamma函数之间的联系，灵活运用这些可以解决数学运算中的一些问题，本文中通过举一些实例来说明了它们的应用.34337 毕业论文关键词 Beta函数；性质；应用 引言 欧拉是18世纪最杰出的数学家之一，他不但为数学界作出了伟大的贡献，更是把数学推至了几乎整个物理的领域.欧拉对数学的研究如此的广泛，因此在许多数学的分支中可以经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理.欧拉(Euler)积分是他重要的贡献之一，它是由含参变量广义积分表示的两个特殊函数，在数理方程以及概率论与数理统计等学科中经常用到，本文重点阐述Beta函数的性质，揭示Beta函数和Gamma函数所具有的关系及其在数学分析中的应用，从而使复杂的题目有了更为简单易懂的解决方法，在提高解题能力的同时，也加深了对数学的理解和应用. 1.Beta函数的定义 称为贝塔（Beta）函数，（或写作 函数）. 2.Beta函数的收敛域 定义：设 为函数 的瑕点，若 ，则 当 时，瑕积分 收敛； 当 时，瑕积分 发散. 在积分 中有两个参数 和 ,当 时， 为瑕点；当 时， 为瑕点，所以要把它分成两个积分来讨论，即 当 时， ，故 收敛； 当 时， ，故 发散. 同理可证： 当 时， 收敛； 当 时， 发散. 所以， 收敛域为： . 3.Beta函数的性质及证明 3.1 Beta函数的连续性 在 连续. 对任意的 ， 在 连续. 对任意的 与 ， 在 一致收敛. 魏尔斯特拉斯M判别法: 设有函数 ，使得 若 收敛，则 在 上一致收敛． 贝塔函数在其定义域内连续. 证：对任何 ， ,有 ， 而 收敛，所以由魏尔斯特拉斯M判别法知， 在 上一致收敛，故而 在 内连续．由 的任意性，可得 在 连续. 3.2 Beta函数的可微性 证： 在 内可微且存在任意阶连续偏导数． 考虑积分 . 当 ， 时，恒有 ，（ ） 而 收敛，故积分 在 ， 时一致收敛．因此当 ， 时可在积分下求导，得 并且 是 ， 上的连续函数． 同理, 是域 上的二元函数，且当 时可在积分下求导，得 完全类似地用数学归纳法可证 在域 上存在连续偏导数，且 . 3.3 Beta函数的对称性 3.4 Beta函数的递推公式 3.5 若 为正整数，则有 证：当 均为偶数时,显然由Beta函数的对称性和递推公式推得 (责任编辑：qin) |