凸函数的性质与应用+文献综述(2)
时间:2019-04-27 20:16 来源:毕业论文 作者:毕业论文 点击:次
函数的凸性是函数的一个重要性质,具有很好的数学性质, 因此具有重要的研究价值和广泛的应用价值,广泛应用于数学分析,泛函分析,复分析等学科领域, 比如利用函数的凸性证明各种有名的不等式,产品的外形设计,如何使产品的设计更好等.因此,正确理解函数的凸性性质和应用,加深对函数性质的研究, 提高数学知识的应用能力, 推广数学的应用领域和范围.多发现数学研究的美, 使数学研究变得不再枯燥,让数学来源于生活,应用于我们的生活. 1 凸函数的定义及等价描述 1.1凸函数的定义 定义 设 为定义在区间 上的函数, 若任意区间 上任意两点 , 和任意实数 有 则称 在区间 上的凸函数.若上式只有不等式成立, 则称 是严格凸函数.若不等式反向, 即 则称 若上式只有不等号成立, 则称 是严格凹函数. 1.2 凸函数的等价定义 定义 设函数 定义区间 上, 若对 上任意不同的两点 , 有 则称 在区间 上的凸函数. 定义3 则称 定义 设函数 定义在区间 上, 若对 上任意三点 , 下列不等式中任何两个组成的不等式成立, , 则称 是区间 上的凸函数. 定义 设函数 在区间 上有定义, 若对 上任意 , 有 , 则 称是区间 上的凸函数. 定义 设函数 内连续, 若对任意 定义 设 为定义在 文欧氏空间 中某个凸集 上的函数, 若对任意实数 以及 中的任何两点 则称 2 凸函数的性质 2.1.凸函数的一些简单运算性质 性质1 设 在区间 上为凸函数, 对于任意 .则： 时, 在区间上为凸函数 性质2 设 是区间 上的凸函数, 则其和 也是 上凸函数 性质3 设 是区间 上的凸函数, 则 为区间 上的函数 性质4 若 是奇函数, 且当 时, 是凸（凹)函数, 则当 时, 是凹（凸)函数;若 是偶函数, 且当 时, 是凸（凹)函数, 则当 时, 是凸（凹）函数. 2.2 凸函数的几种分析性质 定理 设 是可微函数, 下面三个命题等价. (责任编辑：qin) |