Jornda标准形的求法及其应用(2)
时间:2019-05-21 13:08 来源:毕业论文 作者:毕业论文 点击:次
矩阵的若尔当标准形式的理论是矩阵理论中的重要的一个方面，它对研究微分方程理论理论起着重要的作用，尤其是关于化矩阵为若尔当标准形的理论及方法，已经列为线性微分方程组理论的必不可少的基础理论知识.而我们本科课本中关于这方面的知识却是很少的，本文就是重点研究了矩阵若尔当标准形的求法及其应用. 到目前为止已经有很多关于若尔当标准形相关理论知识的研究，如文献[8]-[12]分别研究了若尔当标准形的计算及应用，特征值、特征向量与矩阵的若尔当标准形以及复系数三阶矩阵若尔当标准形的求法等.这些研究已经很透彻，但是却使用时不是太方便. 本文介绍了若尔当块、若尔当阵以及若尔当标准形的定义及其相关概念，给出了若尔当标准形的两种求法和其在矩阵的高次幂计算与计算矩阵多项式中的应用.复数域上每个矩阵都相似于一个若尔当标准形.方法一探讨通过初等变换求出初等因子，然后由初等因子可以得到矩阵的若尔当标准形.方法二通过探讨特征子空间与若尔当标准形的关系来计算矩阵的若尔当标准形.这两种求若尔当标准形的求法都比较通俗易懂，比较实用. 1. 预备知识[1] 在这里我们的讨论限制在复数域上： 定义1 形式为 的矩阵称为若尔当块.其中 是复数，由若干个若尔当块组成的准对角阵为若尔当矩阵. 定义2 的意义：复数域上的 阶矩阵. 定义3 以参数 的多项式为元素的矩阵称为 矩阵，通常记为 . 定义4 特征值、特征向量：设 是数域P上线性空间V上的一个线性变 换，如果对于数域P中的一个数 ，存在一个非零向量 ，使得 ，那么 称为 的一个特征值，而 称为 的属于特征值 的特征向量. 定义5 特征子空间：矩阵 （或线性变换 ）的属于 的全部特征向量再添上零向量便构成 上的一个子空间，称为矩阵 （或线性变换 ）的属于 的特征子空间，记为 . 定义6 不变因子：标准形的主对角线上的非零元素 称为 -矩阵 的不变因子. 定义7 初等因子：把矩阵 （或线性变换 ）的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的首项为1的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式方幂（相同的必须按出现的次数计算）称为矩阵 (或线性变换 ）的初等因子. 定义8 矩阵的秩：如果 -矩阵 中有一个 阶子式不为零，所有的 阶子式（如果有的话）全为零，则称 的秩为 . 定义9 代数重数： 互不相同， 且 称 为 的代数重数. 定义10 几何重数： 的基础解系所含解向量的个数 为 的几何重数.且几何重数= -秩 ， (责任编辑：qin) |