Black-Scholes方程的求解方法分析及应用(8)
时间:2017-02-27 11:39 来源:毕业论文 作者:毕业论文 点击:次
假设衍生证券价格 依赖于标的资产价格 ,则 一定是 和时间 的某一函数. 由伊藤引理得 (2.3.2) 式(2.3.1)和(2.3.2)的离散形式分别为 (2.3.3) (2.3.4) 式中 和 分别是 和 在短时间间隔 后的变化量. 由于 和 遵循相同的文纳过程,所以两式中 应该相同. 这样适当地选择股票和衍生证券组合就可以消除不确定项 . 为了消除 ,我们构建了一个包括1单位衍生证券空头和 单位标的资产证券多头的组合. 令 代表该资产组合的价值,则有结果: 在 时间后,该资产组合的价值变化为 (2.3.5) 将 和 代入式(2.3.5),得 (2.3.6) 由于式(2.3.6)中不包含 ,所以在时间间隔 后该组合的价值必定无风险,其在 后的顺势收益率一定等于无风险利率. 否则,套利者就可以通过套利获得无风险收益率,所以结果应该是:(2.3.7) 将式(2.3.7)代入式(2.3.6)得 整理后得 (2.3.8) 式(2.3.8)就是著名的Black-Scholes偏微分方程. 这个方程适用于价格取决于标的资产价格 的所有衍生证券定价. 2.3.2 边界条件 方程(2.3.8)对应于所有标的变量为 的衍生证券,该方程有很多解. 为了保证它有唯一的解,我们需要给出衍生证券所满足的边界条件. 对于欧式看涨期权来说,关键的边界条件为 当 时. (2.3.9) 当 时,期权没有价值,所以边界条件为 (2.3.10) 当 时, 期权的价值变成股票的价值,即 (2.3.11) 根据边界条件式(2.3.9),式(2.3.10)和式(2.3.11),可以求解方程(2.3.8). 2.3.3 Black-Scholes期权定价公式 欧式看涨期权价格满足偏微分方程(2.3.8),于是有 (2.3.12) 方程(2.3.12)类似扩散方程,但它有更多的项. 为了便于求解,令 则 , 故有 方程(2.3.12)变为 即(2.3.13) 其中 此时,终止条件转化为初始条件 注意到方程(2.3.13)中仅包含一个参数 令 其中 和 是待定的常数. 代入式(2.3.13)有结果 (2.3.14) 选择 和 ,使其满足 求解两式,得 这样,我们有 式中 满足 由偏微分方程知识有 作变换 所以 其中 是正态分布的累积分布函数;将 代换为 得到 将 和 代入式(2.3.15),再利用 整理后得 其中 总结上述结论,我们有如下定理: 定理2.3.1(Black-Scholes欧式期权定价公式) 到期时刻为 ,行权价格为 ,标的资产价格 服从几何布朗运动的股票欧式看涨期权的价格为 (2.3.16) 根据欧式看涨期权和看跌期权之间的平价关系,容易得出不支付红利股票的欧式看跌期权的定价公式: (2.3.17) 2. 4 期权定价的应用 例：附表是浦发银行在2013年1月到4月的股票走势. 以收盘价为准,计算价格. （1）计算各个参数： 利用收盘价的数据求得均值为10. 525 方差为0.353 时间差为73天 一年期固定存款利率为3% 即 , , , , . （2）计算期权的价格. 将上述计算结果代入式(2. 3. 16)和式(2. 3. 17),有 matlab程序： S=10. 525; X=10. 525; r=0. 03; sigma=0. 353; time=0. 203; time_sqrt=sqrt(time); d1=r*time_sqrt/sigma+0. 5*sigma*time_sqrt; d2=d1-(sigma*time_sqrt); (责任编辑：qin) |