探讨导数在函数单调性中的应用(2)
时间:2019-08-06 12:31 来源:毕业论文 作者:毕业论文 点击:次
1.2函数的性质 函数的性质主要有函数的单调性, 奇偶性, 函数的极值, 本文主要做单调性和极值的研究. 1.2.1函数的单调性 定义2 一般地,设函数 的定义域为 , 若对于定义域 内某一区间上任意两个自变量 和 , 当 时, 恒有 ( ) ( ), 那么就说 在此区间上是增函数． 定义3 一般地,设函数 的定义域为 , 若对于定义域 内某一区间上任意两个自变量 和 , 当 时, 恒有 ( ) ( ), 那么就说 在此区间上是减函数． 定义4 若 在某个区间上是增（减）函数, 那么就说函数 在这个区间具有单调性, 这个区间叫做函数 的单调区间． 下面通过简单的几个例题简单的求函数的单调区间： 例 1 求下列两个不同函数的单调区间. ⑴ ； ⑵ 解 利用导数求解函数的单调性简单直接 ⑴ 由题意可知 即得出函数的单调增区间为 令 得到函数的单调减区间为 ⑵由题意可知函数的定义域为 则有 则令 得出函数的单调增区间为 令 得到函数的单调减区间为 这是函数的单调性用导数怎么求解的简单应用,后面将运用于大量的例题中．从例题中可以看出导数在求解函数的单调区间中有着很简便的运用,所以在求解函数的单调区间时我们应该首选求函数的导数. 1.2.2函数的极值 定义5 函数 在点 周围的所有点都满足 ,那么称 是函数 的一个极大值,简单记作： ; 定义6 函数 在点 周围有定义,若对 周围的所有点都满足 ,那么称 是函数 的一个极小值,简单记作： ; 极大值与极小值合起来统称为极值,称 为极值点． 例2 求函数 的单调区间和极值. 解析 在求复杂函数的极值以及单调性的问题时我们可以分成几个步骤. 第一步：先求出函数的定义域 第二步：求出函数的的导数. 第三步：让导数等于零,再来求解函数的单调区间. 第四步：画表格,把原函数导数的符号用表格的形式表示出来,进而求出函数的极值 解 该函数的定义域为 , 令 = 得驻点 又 在点 处导数不存在,它们把 分成四个区间,列表讨论 的符号 (责任编辑：qin) |