集合上的等价关系研究(2)
时间:2019-08-08 18:16 来源:毕业论文 作者:毕业论文 点击:次
定义6 如果R是集合A上的二元关系,若有 成立,则称R具有欧几里得性. 为了给出本文的主要结论,即等价关系的另外两种定义,下面给出上述各种性质的联系. 定理1 如果R具有自反性那么R具有持续性. 证明:由 R具有自反性的定义得,对任意的 ,均有xRx,这就有对任意的 ,在 A中都存在 y=x使得xRy,故 R具有持续性. 于是便得下面的定理 2. 定理2 如果R具有持续性、对称性和传递性那么R具有自反性. 证明:由 R具有持续性的定义得,对任意的 ,在 A中都存在 y使得xRy,由对称性得yRx成立,再由xRx传递性得成立,即对任意的 ,均有成立xRx,故 R具有自反性. 定理3 如果R具有对称性和传递性那么R具有欧几里得性. 证明:假设R是集合 A上的二元关系,如果xRy并且 xRz,由R具有对称性的定义得,有 yRx成立,再由 R具有传递性的定义得 yRz成立.即有 成立,故 R具有欧几里得性. 定理4 如果R具有自反性和欧几里得性那么R具有对称性和传递性. 证明:设 R是集合 A上的二元关系,若 yRx成立,由 R具有自反性的定义得 xRx成立, 再由R具有欧几里得yRx性的定义得yRx成立,即有 成立,故 R具有对称性.设 R是集合 A上的二元关系,R具有自反性和欧几里得性,若有 xRy且 yRz成立,则由上面的对称性的证明得 yRx且 yRz成立,再由R具有欧几里得性的定义xRz成立,即有 成立,故 R具有传递性. 1.2 等价关系的等价定义[3] 离散数学和近世代数的教材中对等价关系一般都定义如定义1所述,本文还将给出等价关系的另外两种定义 ,即定义2和定义3. 定义1 集合 A上的一个二元关系 R如果满足自反性、对称性和传递性,那么称二元关系 R为 A上的等价关系. 定义2 集合 A上的一个二元关系 R如果满足持续性、对称性和传递性,那么称二元关系 R为 A上的等价关系. (责任编辑：qin) |