微分中值定理中值点性质的探讨
时间:2019-08-08 18:22 来源:毕业论文 作者:毕业论文 点击:次
| 1.一元函数微分中值定理中值点的性质 1.1一元函数微分中值定理中值点的连续可导性 1.1.1泰勒中值定理中值点的连续可导性 引理1.（泰勒中值定理）若函数 在开区间 上存在直到n+1阶导数， 则对任意 ，都有： （1） 其中有 介于 之间。38315 定理1 如果函数在开区间 上直到n+1阶导数， 在开区间 上严格单调，那么时满足（1）式的 是x的单值函数。 证 对任一 ， ，有 同时符合（1）式，即有论文网 则有 因为 在开区间 内严格单调，所以 ，故 时是小的单值函数。 定理2 如果函数 在开区间 内存在直到n+2阶导数，并且 在开区间 内恒成立， 为常数， 那么 时满足(1)式的 是x的连续函数。 证 设在 内恒成立 , 那么 在 内严格单调递增,结合定理1, 时满足(1)式的 是x 的单值函数, 记 = (x). 任意取x, 那么 (1)式即为 其中有 介于 之间.又有 其中 之间。于是，得 (2) 在 构成的区间上满足拉格朗日中值定理条件，所以有 由(2),(3)式，可得 因为 所以 因为x的任意性， 在区间 内连续。 定理3 若函数 在 内存在直到n+2阶连续导数，并且 在 内恒成立， 为常数， 那么 时满足(1)式的 是x的可导函数，并且 证 设在 内恒成立 ，则由定理2， 时满足(1)式的 是x的连续函数。 任意取一x, 则由定理2证明中的(4)式，有 其中有 介于 之间， 之间， 之间。 因为 在点x连续，故 时， 从而 .又 在开区间 内连续，所以 所以， (责任编辑：qin) |