试论求解一阶常微分方程的积分因子(2)
时间:2019-09-09 12:46 来源:毕业论文 作者:毕业论文 点击:次
1.常微分方程的相关概念 1.1常微分方程的概念 1.1.1常微分方程的具体概念 微分方程具体概念：联系自变量、未知函数和导数的数学关系式.并且在微分方程中，其自变量个数有且只有一个，称这种形式的微分方程为常微分方程.其中在微分方程里出现的未知函数最高阶导数的阶数我们称为微分方程的阶数.本文主要论述一阶常微分方程的积分因子求法. 常微分方程是数学分析的一个分支，是数学应用的基础学科，也在不断的发展中. 1.1.2常微分方程的两种基本解法 求解一阶常微分方程的通解是整个求解微分方程的基础 . 通常情况下求解一阶常微分方程的方法可以分为两大种：其一是求解变量可分离类型的常微分方程，通过正确的变量代换方法把一阶微分方程转化成可积类型的常微分方程；其二是把全微分方程作为基础，然后运用积分因子的方法把这个一阶微分方程转化成全微分方程求解．第二种方法就要求我们要找出积分因子，本文将详细总结积分因子的求法. 1.2关于积分因子的相关概念 1.2.1积分因子的定义 可以通过积分求出恰当微分方程的通解.能否把非恰当常微分方程化为恰当微分方程就非常重要.因此引进了概念:积分因子. 若对于一阶微分方程 (1) 其中 ， 在矩形域内 的连续函数，并且有连续一阶偏导数．如果有连续可微的 ，能使 ， 是一个恰当方程，即有一个函数 ，使 ． 则称 为方程(1)的积分因子 . 1.2.2积分因子的性质 积分因子通常情况是很难求解的，因此探究积分因子本身的几种性质可以更快的求得积分因子.下面主要论述积分因子的存在性及不唯一性. 性质一 积分因子的存在性（积分因子存在的充要条件） 方程 具有形式如 的积分因子的充分必要条件为： ，即 （2） （2）是以 为未知函数的一阶线性偏微分方程.求解方程（2）求积分因子，从而得到方程（1）的解，比解方程（1）更加困难.然而，在一些特殊情形下，求（2）的一个解很容易，这就探究出了求积分因子的一个途径. (责任编辑：qin) |