Aczel不等式的推广
时间:2019-09-26 20:05 来源:毕业论文 作者:毕业论文 点击:次
| 摘要 对于著名的Aczel 不等式，前人已给出了众多的证明及推广.本文在总结前人给出的结果的基础上，从两个方面研究该不等式，一方面，通过对Aczel 不等式进行相关的变形，得到另一种形式的Aczel不等式；另一方面，通过引入参数 ，给出了满足 的Aczel 不等式，从而推广了应用广泛地Aczel 不等式.39581 毕业论文关键词 Aczel 不等式； Popoviciu 不等式；参数；推广 1.相关介绍 在1956年，Aczel证明了下面的不等式： 其中， 且 这就是著名的Aczel不等式.众所周知，Aczel不等式在许多领域有重要的应用，正因为如此，近年来，该不等式在其推广、变形和应用方面被广泛关注，已得到了大量相关的论文研究. 后来，Popoviciu[1]将Aczel不等式进行进一步的推广得到定理A. 定理A 设 均为大于0的实数 ， 且满足 则有如下不等式成立 且当且仅当 时，等号成立. Vasic和Pecaric[1]对上述定理进行了更进一步的研究得到定理B. 定理B设 均为大于0的实数，且满足 ， 则有如下不等式成立 定理C设 均为大于0的实数 ， 且满足 则有如下不等式成立 当且仅当 时，等号成立. 2.Aczel不等式的变形 引理1 若 且 ， 均为大于0的实数且 ，则 . 证明：当 时，不等式显然成立。不妨设 ， 令 , ，则易知当 或 时， 不妨设 ，易知 ， .因为 ，则 ；又因为 ，则 . 由 ，有 即 上式两边同乘 次方且利用 ，有 即 ，从而有 . 利用极值第二充分条件: 设 在 的某邻域 内一阶可导，在 处二阶可导，且 若 则 在 处取得极大值； 若 则 在 处取得极小值. 由以上讨论可知： 在 处取得极小值. 从而有 . 则 . 即 从而 . 且当且仅当 时，等号成立. 定理1 设 均为大于0的实数， 且满足 则当 时有如下不等式成立 且当且仅当 时等号成立. 证明：（用数学归纳法）当 时，上述不等式显然成立. 当 时，即证 因为 存在实数 满足 ，由引理1可知： (责任编辑：qin) |