两点边值问题的两种数值方法的比较
时间:2019-10-10 21:52 来源:毕业论文 作者:毕业论文 点击:次
| 摘要 本文采用有限差分方法和谱配置法求解两点边值问题，建立相应的数值求解格式。数值结果表明两种方法的有效性，并比较两种方法的优劣。 毕业论文关键词 两点边值问题；有限差分方法；谱配置法 一、引言 在数学中，有限差分法（finite-difference methods，简称FDM），是一种微分方程数值方法，是通过有限差分来近似导数，从而寻求微分方程的数值解。谱配置法近三十年来得到了迅猛的发展，其优点是具有高精度，并容易处理非线性或变系数问题，也称为“高阶差分方法”。39802 本文将对于两种方法进行研究，对于两点边值问题提出数值求解格式，并给出数值结果。 本文的结构如下：论文网 第二部分，回顾差分方法的基本知识； 第三部分，对于两点边值问题提出有限差分方法； 第四部分，给出有限差分法和谱配置方法的数值结果。 二、差分方法简介 考虑二阶常微分方程边值问题： (1) (2) 其中 为 上的连续函数， 为给定常数，这是最简单的椭圆型方程第一边值问题. 将区间 分成 等分，分点为 于是我们得到区间 的一个网格剖分， 称为网格节点， 称为步长. 现在将方程（1）在节点 离散化.为此，对充分光滑的解 ，由Taylor展式可得 （3） 其中 表示方括号内的函数在 点取值.于是在 可将方程（1)写成 （4) 其中 （5) 显然，当h足够小时， 是h的二阶无穷小量.舍去 ，就得到逼近方程（1）的差分方程： （6） 其中 ， .称 为差分方程（6）的截断误差.利用差分算子 ，可将（4）写成形式 （4）＇ 而在节点 处，微分方程（1）为 以此与（4）＇相减，得 （7） 所以 是用差分算子 代表微分算子 所引起的截断误差，它关于 的阶为 差分方程（6）当 时成立,加上边值条件 , ,就得到关于 的线性代数方程组: (8) (9) 它的解 是 于 的近似. 称(8),( 9)为逼近(1),(2)的差分方程或差分格式.由于(8)是用二阶中心差商代替(1)中二阶微商得到的,所以也称(8)为中心差分格式. 三、变系数两点边值问题的差分格式的建立 考虑两点边值问题： （10） （11） 假定 是给定的常数. 首先取 个节点： 将区间 分成 个小区间： 于是得到区间 的一个网格剖分。记 称 为网格最大步长.用 表示网格内点 的集合， 表示内点和界点 的集合. (责任编辑：qin) |