关于组合和递推关系的进一步探究
时间:2019-10-27 12:02 来源:毕业论文 作者:毕业论文 点击:次
| 摘要 本文研究了几类新的组合数和，给出了相应的递推关系. 关键词 组合数；组合数公式；递推关系 一、引言 二项式定理是组合数学里的一个重要的定理. 一般地，二项式的展开式为： ， 其中 称为二项式系数或组合数.41488 关于组合数求和的公式，也就是组合公式，很多组合数学的书里已经讨论了很多，在参考文献[1—3]里已经给出了一系列的组合公式. 然而还有大量的、有趣的组合公式等着我们去发现、去研究. 在上述的二项式展开式中，可以令 ， ，得到 ；同样地，令 ， ，得到 . 文献[4]将其推广得到 .文献[6]在此基础上，并进一步得到如下结论： 定理[6] 设 是正整数，若 ，则有如下递推关系论文网 . 推论1[6] 设 是正整数，则有组合恒等式 = 推论2[6] 设 是正整数，则有组合恒等式 = . 推论3[5] 设 是正整数，则有组合恒等式 = . 本文是在文献[4]、[5]、[6]的基础上，从新的组合数求和式出发，利用初等的方法及组合公式 ，给出了这些组合数求和式的递推关系式. 二、定理和定理的证明 下面就某些有趣的组合数求和式，我们来讨论研究它们存在的某种递推关系. 在这里，将 进行改变，得到新的组合数求和式，即 .再运用初等方法和组合公式 ，得出新形式下的组合数和的递推关系式. 即 定理1 设 是正整数，若 ，则有如下递推关系 证明 由组合数公式 ，得 因此有 类似地，对其他几类有趣的组合数和式，我们也找出了其存在的递推关系，如下： 定理2 设 是正整数，若 ，则有如下递推关系式 . 证明 由组合数公式 ，即 ，得 因此有 . 定理3 设 是正整数，若 ，则有如下递推关系式 . 证明 同上，利用组合数公式 ，得 (责任编辑：qin) |