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1.2  本文主要内容

微分中值定理一般包括三个定理：罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理.在一般的数学分析教材中，通常先介绍罗尔定理，然后以它为铺垫，构造一个辅助函数满足罗尔定理的条件，以此来证明后两个定理.由于构造辅助函数的方法不同，微分中值定理就有多种证明方法，本文第二章和第三章主要应用切线斜率法和三角形面积法对拉格朗日中值定理和柯西中值定理进行证明.在第四章中，对拉格朗日中值定理和柯西中值定理的物理意义给出解释，又对它们的另一种证明方法作了初步探讨. 

 2  微分中值定理的预备知识

本章主要介绍微分中值定理证明时用到的一些知识.

2.1  引言

要研究微分中值定理，我们必须先研究导数，而导数的本质是函数对自变量的变化率，它只反映函数在一点的局部特征.那么如何了解一个函数的大范围特性呢？就要通过微分中值定理在整体与局部之间建立联系，从而我们可以研究函数的整体性质.拉格朗日中值定理是微分中值定理的核心内容，它有多种证明方法，其中用切线斜率法与三角形面积法来构造函数是最常用的两种，这两种方法都是在几何学中进行探讨的.罗尔定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情况，它的证明需要费马定理.另外，微积分学知识在物理中也有很多应用，它的思想对于物理问题的解决有很大作用.本文具体阐述了微分中值定理的物理意义，还从函数单调性的角度考虑，运用新方法证明了拉格朗日中值定理和柯西中值定理.本章下两节将先介绍导数的概念，然后给出证明微分中值定理所用到的一些定理及引理（参见文献[4][6]）.

2.2  导数的概念

导数的思想最初来源于法国数学家费马为研究极值问题而引入的.现实生活中，直接与导数相联系的是以下两类问题：已知曲线求它的切线和已知物体的运动规律求速度.莱布尼兹发现了函数的导数与曲线的切线斜率之间的联系，还得到了导数运算的方法，以此开始了微积分的进程.物理学家牛顿却从瞬时速度问题中得到启发，建立了流数理论，也独立地发明了微积分学.