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摘要通过对矩阵的若尔当标准形的探讨,首先给出了矩阵的若尔当标准形的一种求法,并用该求法讨论了4阶以内矩阵的若尔当标准形问题；其次,给出了相似变换阵的求法；最后,探讨了若尔当标准形在计算矩阵多项式、矩阵分解、矩阵相似对角化以及解线性微分方程组方面的一些应用.该毕业论文参考文献5篇.42686

关键词：矩阵；分解；特征值；多项式；若尔当标准形

 Calculating on Jordan Canonical Form and its Application

Abstract

Through the discussion of the Jordan canonical form matrix, this paper firstly gives a method for the matrix of the Jordan canonical form, secondly discuses

4 order within the matrix Jordan canonical form ;Then gives a method of finding the similar transformation matrix; At last explores in computing the matrix polynomial，matrix decomposition, matrix similarity, digitalization and the solution of linear differential equations of some applications.

Key Words: Matrix；Decompose；Characteristic value；Polynomial；The Jordan canonical form.

目  录

摘要Ⅰ

Abstract-Ⅱ

目录Ⅲ

1 引言1

2 主要结果1

2.1矩阵的若尔当标准形的求法1

2.2可逆矩阵 的求法8

2.3若尔当标准形的应用15 

参考文献20

致谢21

 1 引言

关于矩阵的若尔当标准形问题,我们有结论:

引理  设 是复数域上的 阶方阵,则存在 阶可逆复矩阵 ,使得 为 的若尔当标准形.

在这里,一个很自然的问题,就是如何求矩阵 的若尔当标准形及相似变换阵 的问题,而另一个问题就是若尔当标准形的应用问题.本文就这两个问题做一些探讨.

2 主要结果

    2.1  矩阵的若尔当标准形的求法

在一般的高等代数教材中,都是通过求矩阵的不变因子组或初等因子组来求矩阵的若尔当标准形,本文考虑利用矩阵秩的理论来探讨矩阵的若尔当标准形问题.

定理1  设 是矩阵 的任一特征值,则使得

 成立的最小正整数 是特征值为 所对应的所有若尔当块的最高阶数.

证  可设与特征值 相对应的所有的初等因子为 , ,…, ,它们对应的若尔当块记为 .而 的其余特征值所对应的若尔当块分别为 ,则矩阵 相似于若尔当标准形

 .于是有矩阵 相似于矩阵 .进而有 与 相似.

从而求使得

 成立的最小正整数 ,等价于求使得 

成立的最小正整数 .由 ，

其中 分别是阶数为 的幂零矩阵, 为可逆矩阵.则矩阵 的秩随着 值的增加是不断减小的,直到找到一个正整数 使

 .此时,这个最小正整数 .

综上可知,使得 

成立的最小正整数 是特征值为 所对应的所有若尔当块的最高阶数.

在定理1的基础上我们讨论利用矩阵秩的理论来探讨矩阵的若尔当标准形问题,下面就4阶以内的矩阵来讨论并给出结论,而更高阶数的可以类似讨论. 

结论1  设 是2阶方阵,特征值为 ,则按特征值的情况进行分类有下列两种可能:

(i)当 时,那么 的若尔当标准形为 ；

(ii)当 时,如果 ,那么 的若尔当标准形为 ；

如果 ,那么 的若尔当标准形为 .

结论2  设 是3阶方阵, 的特征值为 ,则按特征值的情况进行分类有下列三种可能：

(i)当 互不相同时,那么 的若尔当标准形为 ；

(ii)当 且 时,如果 ,那么 的若尔当标准形为 ；

如果 ,那么 的若尔当标准形为 ；

(iii)当 时,如果 ,那么 的若尔当标准形为