矩阵的初等变换和应用(3)

下面这三种矩阵的变换就是其初等行变换：

1）以一个非零数乘矩阵的某一行；

2）把矩阵的某一行的倍加到另一行，为任意常数；

3）互换矩阵中两行的位置。

类似的，我们可以定义初等列变换，即

1）以一个非零数乘矩阵的某一列；

2）把矩阵的某一列的倍加到另一列，为任意常数；

3）互换矩阵中两列的位置。

我们约定矩阵的初等变换用以下形式表示：

1）代表行，代表列；

2）非零常数乘矩阵的第行（列）：（）；

3）把矩阵的第行（列）的倍加到第行（列）：（）；

4）互换矩阵的第行（列）和第行（列）：（）。

矩阵的初等变换有个重要的性质：任何一个非零矩阵经过初等行变换总能变成阶梯形矩阵。

证明：不失一般性，假设非零矩阵每行的首个非零元中列标最小的是（若这样的元素不在第一行，就通过行的对换使之处于第一行），把的第一行元素的倍加到第行（）的对应元素上去，得到：

。

若由第二行到最后一行组成的子块，则就是阶梯形矩阵了；若，则对作类似的初等行变换。如果需要的话就重复这个步骤，最终会将化成阶梯形矩阵。

有了这个性质之后，我们就可以通过初等变换对任意非零矩阵进行化简，找到与原矩阵等价的阶梯形矩阵（甚至进一步化简到行最简形矩阵或标准形矩阵），简化矩阵的一些相关运算。

1.3 初等变换与初等矩阵

初等矩阵是对单位矩阵进行一次初等变换后获得的矩阵。因此初等矩阵有下列三种形式：

1）互换单位矩阵的第行（列）与第行（列）。这样得到的矩阵我们记为，即：。

2）把非零常数乘单位矩阵的第行（列）。这样得到的矩阵我们记为，即：。

3）把单位矩阵的第行（列）的倍加到第行（列）上去。这样得到的矩阵我们记为，即：。

对一个矩阵进行初等行变换，相当于用相应的初等矩阵左乘该矩阵；进行初等列变换，相当于用相应的初等矩阵右乘该矩阵。接下来我们对初等变换的情况做一下简单的证明，初等列变换的情况可类似证出。

证明：把矩阵按行进行分块：

，其中。由矩阵的分块乘法，有：，

这相当于将的第行和第列互换；

，这相当于将的第行乘以数；，

这相当于将的第行加上倍的第行。

2 矩阵的初等变换在线性代数中的应用

2.1 求矩阵的秩

我们已知矩阵的初等变换可以把任意一个非零矩阵化成标准形矩阵，同时我们注意到有很多不同的矩阵能化到相同的标准形。此外，一个矩阵可以通过初等行变换化成不同的阶梯形矩阵，其中非零行的个数却都是相同的。为此我们需要引入矩阵的秩的概念。

定义矩阵的秩为：设为矩阵，是与等价的行阶梯形矩阵。若矩阵的非零行有个，我们则称矩阵的秩是，矩阵的秩也是，记做。

同时矩阵的秩与矩阵的初等变换有这样的关系：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。

证明：先证明若经过一次初等行变换变成，则。

设，且的某一个阶子式。

当或时，在中一定能找到与所对应的阶子式。因为或或，所以，从而。

当时，因为做变换时结论已成立，所以只要考虑这一特殊情况。需要分两种情况讨论：（1）的阶非零子式不包括的第一行，此时也是的阶非零子式，所以；（2）包括的第一行，此时把中与对应的阶子式记做 (责任编辑：qin)