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     (8)倒数法则  

2.2 几个重要的不等式

     (1)柯西不等式

       ①二维形式的柯西不等式：            。

         当且仅当 时，等号成立。

       ②三维形式的柯西不等式：            

         当且仅当 时，等号成立。

       ③一般形式的柯西不等式：

        对任意两组实数 ，有          

         当且仅当 时，等号成立。

柯西不等式可以说是中学数学中最重要的不等式之一了，在高中数学中占了相当一部分篇幅。有很多方法来证明柯西不等式，可以从构造函数方法、变换和数学归纳法等角度都可以对它进行验证。柯西不等式的应用也非常广泛，很多特殊不等式、重要不等式都可以用柯西不等式加以推导证明，利用柯西不等式可以解决很多问题。根据已知关系式和待证表达式之间的关系，判断是否有利用柯西不等式的式子结构，或者通过适当拆分、配凑和变形等将柯西不等式加以应用，解决问题。

     变式：如果将柯西不等式变形，可以得到

      ，将式子的左边看作是一个函数，右边值确定时，就可知 的最大值和最小值，当且仅当 =…= 时，可以取到最大值和最小值。相反的，若是将柯西不等式右边的一个因式或者两个因式的乘积当作函数，当其他因式已知的时候，就可以求出这个函数的最小值。

     (2)均值不等式

       ①算术几何平均不等式：

          ；当且仅当 时，等号成立。

       ②一般形式均值不等式：

        若 ，则                   ，

其中等号当且仅当 时成立。

       推论1：若 ， ，则 ，其中等号成立当且仅当 。

       推论2：   当且仅当 时，等号成立。

       （调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数）

  均值不等式是一类比较主要的不等式，被广泛于现代数学，是应用最为广泛的不等式之一，其中最主要的当属算数集合平均不等式，是研究最值问题，比较大小的有力工具。当问题中变量都是或者可以转换为正数，变量之和或之积是常数且各变量有相等的可能的情况下，可以利用均值不等式求解。

3 数学竞赛中的不等式问题

3.1 数学竞赛中的柯西不等式应用

    柯西不等式是数学竞赛中的一大考点，应用广泛。有关柯西不等式在数学竞赛中的应用，主要将柯西不等式利用在证明不等式，求极值问题或者与其他知识相结合组成题目。在不等式问题中，通常需要将数学知识有机融合利用，掌握丰富的数学方法与思想。下面将主要通过实例来说明数学竞赛中的柯西不等式的应用，以及如何利用它来解决问题。