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小球进行无能量损耗的微小竖直振动.由于振动是微小的,因此弦的长度可以认为不变,因此根据Hooke定律,弦的张力也可以认为不变,始终为 (实际上即使弦的长度有变化,也只是关于下面即将提到的 的高阶无穷小,因此不如不考虑).设小球偏离了平衡位置,其 坐标为 ,则小球受到的弦的竖直方向的张力大小为 ,其中 为小球偏离平衡位置时弦与水平线的夹角.由于 很接近于 ,因此 和 只相差关于 的高阶无穷小量,可以认为

其中 为弦的长度.由于弦对小球的作用力始终与小球相对于平衡位置的位移方向相反,因此可以认为作用在小球上的力为 由Newton第二运动定律,

其中 为小球质量, 增大表明时间在流逝.于是,

我们面对的是一个微分方程

(2.1)

其中 下面我们来解微分方程(2.1).微分方程(2.1)等价于微分方程组

(2.2)

其中 是引入的辅助实函数.而微分方程组(2.2)等价于复微分方程

(2.3)

其中 是虚数单位,且复函数 .而复微分方程(2.3)的解的形式只能为

其中 为任意复数.这是因为,对于复微分方程(2.3)的任意解 ,考虑函数 ,则

可见 为常数 ,因此 .然后仅取复函数 的实部便可得

(2.4)

其中 是复数 的模. 为 的辐角主值,与小球的初始位置有关.可见,小球的竖直位移关于时间的函数是一个三角函数,说明小球在往复振动.且小球的振动周期为 ,频率为周期的倒数.我们发现小球的振动周期与频率和小球初始运动速度无关.和小球的初始速度大小相关的是小球的振幅 与小球的初始速度方向相关的是 的符号.

我们称小球在做简谐振动.上面的推导只不过是在表明简谐振动是圆周运动的一个侧面.

（三）两个小球耦合微振动问题的数学解法      

下面我们来考察两个小球的微小竖直振动.弦与第（一）节中使用同一根弦.只不过现在弦上放着两个质量分别为 的小球 .两个小球都放在弦的三等分点处,且 放在 的左边.如图2.易得作用在 上的力为

作用在 上的力为

因此根据Newton第二运动定律得到微分方程组

方程组(3.3)可以写成矩阵形式

下面将(3.4)中的矩阵对角化.可得矩阵特征值为 ,然后有

将(3.5)代入(3.4)可得

消去(3.6)中的 ,则(3.6)变成

令 则(3.7)变成

根据第（一）节,可得

其中 为复数,且 分别为 的辐角主值.而且我们发现 的周期之比等于矩阵的两个特征值的算术平方根之比.

进一步推得

可见,当只有 时,两个小球的位移在任何时刻都恰好相反,在做相反运动,此时两个小球的振动频率都为 .当只有 时,两个小球的位移在任何时刻完全相同,在同步运动,此时两个小球的振动频率都为 .可见两个小球在同步振动时的振动频率要小于做相反运动时的振动频率.当 都不为 时,两个小球都在做往返运动,但是由于三角函数 的周期之比是无理数,因此每个小球的往返运动都没有固定的频率和周期.

（四）两个小球耦合微振动问题的物理解法

为了更好地理解第三节中矩阵对角化方法的物理本质,我们接下来用物理方法来解决两个小球的耦合微振动问题.本节与论文主旨关系不大,但是属于有意义的节外生枝.本节的所有假设和符号都继承第三节.