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摘要极大理想与素理想是环的两大重要理想，它们在环的理论中起着重要的作用。综述了环论中相关环的理想研究，讨论了常见环的极大理想与素理想的相关特点以及性质，讨论了极大理想与素理想之间的联系。48150

Maximal ideals and prime ideals are two important ideals in the ring,which plays an important role in ring theory.We survey the related research on such ideals,and investigate maximal ideals and prime ideals of several known rings.The relations of these two types of ideals are also discussed.

毕业论文关键词：环；极大理想；素理想

Keywords: ring;maximal ideals;prime ideals

目    录

1、引言 5

2、几类环的极大理想 5

3、几类环的素理想 10

4、极大理想与素理想关系 12

1、引言

环 上的的子集I，若I满足： 构成 的子群， ，则称I是R的一个右理想。类似地，若下面条件成立： 构成 的子群， ，则称I是R的一个左理想。若I既是R的左理想，又是R的右理想，则称I是R的一个双边理想，简称为R上的理想。

2、几类环的极大理想

定义1  若R是一个环，I是R的一个双边理想，且不存在R的一个真理想J，使得I是J的真子集，那么称I是R的极大理想。

举个例子：

1、在整数环Z中，因为理想 是整数环Z的真理想并且理想 是理想 的真子集，所以理想 不是极大理想。

2、在整数环Z中，理想 是极大理想。假设I是整数环Z的一个理想，并且理想 是I的一个真子集。那么必定存在一些 且 ，也就是说m不能被5整除。则 。因为5是素数，所以我们可以写成：

 （其中，s,m都是整数）

因为 并且 ，这就说明 ，那么 ，所以理想 是整数环Z的极大理想。

3、整数环Z的极大理想的形式恰恰符合 ，其中p是素数。

结论：当p是素数时， 是域。

定义2：域是一种交换环 ，当中加法单位元（0）不等于乘法单位元（1），且所有非零元素有乘法逆元。

定理1  R是具有单位元的交换环，M是R的一个理想。那么商环 是域当且仅当M是R的一个极大理想。

思路分析：这里必须说明两件事。一、我们必须证明如果 是域（即 中的每个非零元素都是单位元），那么M是R的极大理想。假设I是R的一个理想，且M是R的真子集，尝试着去证明 是一个非常有效的途径来说明上面这个问题。二、我们同样必须证明若M是R的一个极大理想，那么 中的每个非零元素都是单位元。证明的途径如下：如果 不属于M（因此 不是 上的零元），事实证明M是R的一个极大理想等价于R中唯一个同时包含M和元素a的理想就是R本身。特别地，这个同时包含了M和元素a的R的唯一理想也包含了R的单位元。

证明： 设 是域，I是R的一个理想，且M是R的一个真子集。令 那么 不是 的零元。所以 ，对于一些 ，那么 ，令 ，得到 。因为 且 ，所以有 。由此可见 ，所以M是R的极大理想。

 假设M是R的极大理想，令 是 中的非零元素。我们需要证明存在 使得 。这意着 或者 。因此我们需要证明存在 使得 。令 表示R中元素的集合表现形式为

 ，对于一些 ， 

那么 是R的一个理想，因为 且 所以M是 的真子集，又因为M是R的极大理想，所以 。特别地，对于一些 ， 有 ， ，那么 和