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不动点理论它的另一个发展方向是不限于欧氏空间中多面体上的映射，而考察一般的距离空间或线性拓扑空间上的不动点问题.最后给出结果的是波兰数学家巴拿赫(Banach)，他于1922年提出的压缩映像原理（也称Banach不动点定理）发展了迭代思想.一定理有着及其广泛的应用，像代数方程、微分方程、积分方程、隐函数理论等中的许多存在性与唯一性问题均可以归结为此定理的推论.有关不动点理论及其应用方面的进一步结果，可参见文献[1-13].

不动点定理可以说是数学中最能体现美的定理.它虽然是泛函分析中最简单的定理, 但它的存在确实使一些数学问题在无法想象中得到了解决. 因此, 它就自然成为各类竞赛和选择性考试必选的内容之一, 尤其在近年的高考试题中对该定理的应用越来越频繁. 本文以Banach压缩映像原理为基础, 给出了不动点定理数学问题中一些典型应用.

2、不动点定理

2.1 不动点相关定义

定义1[1]  设 是任意给定的完备的距离空间,如果有映射 存在常数 使得 则称 是一个压缩映射.

定义2[1]  对任给的度量空间 及映射 如果存在 使得  则称 为映射 的不动点.

特别地，函数 是定义在 上的函数，如果 使得 成立，则称 为函数 的一个不动点.

定义3[2]（Cauchy列） 设 是一度量空间,  若对任取的  有自然数  使得对  都成立  则称序列 是 中的一个Cauchy列.

定义4[2]（完备度量空间） 设 是一度量空间,若 中任意一Cauchy列都收敛,则称它是完备的.

2.2 不动点思想

函数的不动点,在数学中是指被这个函数映射到其自身的一个点,即函数 的取值过程中,如果有  使 ，就称 为 的一个不动点.

首先，对于函数 的不动点，有两个方面的理解：

    1）代数意义： 的不动点，是方程 的根.

    2）几何意义： 的不动点，是函数 与 的交点.

    有了这两个方面的理解，很显然，可以用不动点思想来求方程的根和函数的交点.

    其次，因为  ，无论我们进行迭代多少次，一直迭代下去，最后得到的结果都是自变量本身.所以在函数迭代及数列中，不动点思想有着极为广泛的应用.

2.3 Banach不动点定理

定理1[3] （Banach不动点定理—压缩映射原理）设 是一个完备的度量空间， 是 到其自身的一个压缩映射,则 在 中存在惟一的不动点，即存在唯一的 ，使得 .

证明 首先, 证明 存在不动点. 为此，我们取定 ，则以递推形式 确定一序列 是Cauchy 列.事实上，由

 对任意的整数 ,设 那么

 由于 ，从而知 是一Canchy列,由 的完备性可知，存在 使 .下面证明 是 的不动点.因为

 故 ,即 , 所以 是 的不动点.

其次, 证不动点的惟一性

设 有两个不动点 , 那么由 及 有                                    

设 ,则 , 得到矛盾，从而 ，唯一性证毕.

有时候映射 不能满足定理1的条件，故不能应用它，因此有必要将定理加以拓广，由此得到定理2.

定理2[1] 设 为完备的距离空间， 是 到其自身的映射，如果存在常数 以及自然是 , 使得对于任意的 ， 成立，那么 在 中存在唯一的不动点.

为了我们应用方便, Banach不动点原理可以改为:

定理3[4] 任给数列 ,若有常数 使得对一切的 都有 则数列 收敛. 

证 只需证明 是Cauchy列,从而说明 收敛. 为此,对任意的 , 考虑 (责任编辑：qin)