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（一） 已知表达式求最值

已知一次函数表达式的最值问题，只要给定自变量的取值范围，应用函数的单调性就可得出相应的最值，其类型有如下几种：

（1）如果 ，那么 有最大值或最小值：

当 时， ， ；

当 时， ， .

（2）如果 ，那么 有最小值或最大值：

当 时， ；当 时， .

（3）如果 ，那么 有最大值或最小值：

当 时， ；当 ， .

（4）如果 ，那么 既没有最大值也没有最小值.

（二） 实际问题求最值

在实际生活生产中，一次函数最值问题的应用非常广泛.类似于物资的调运、任务的分配、邮件的投递等.一次函数的命题也多种多样，根据各省市近几年的中考题及平时的练习题，一次函数命题的形式大致可以归为以下四类：（1）分段函数问题；（2）方案设计问题（物资调运，方案比较）；（3）一次函数多种变量及其最值问题；（4）由函数图像求最值（单个函数图像，多个函数图像）.

1. 分段函数问题

例1  某建材公司专销绿色环保油漆，第一批绿色环保油漆上市40天内全部售完．该建材公司对第一批绿色环保油漆上市后的市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如下图所示，其中左图中的折线表示的是市场日销售量与上市时间的关系；右图中的折线表示的是每瓶绿色环保油漆的销售利润与上市时间的关系．

（1）试写出第一批绿色环保油漆的市场日销售量y与上市时间t的关系式；

（2）第一批绿色环保油漆上市后，哪一天这家建材公司市场日销售利润最大？最大利润是多少万元？

解  (1) 由左图可得， 当 时， ．即 ，   

当 时，设 ，

得   ，解得  ．即 ．    

综上可知，当 时，市场的日销售量： ，

当 时，市场的日销售量： . 

(2) 由右图可得，当 时，  ．即  ，   

   当 时， ， 

∴ 当 时，产品的日销售利润：  ；  

∵ ，所以，m随t的增大而增大，

∴ 当 时，产品的日销售利润m最大值为：2400万元. 

当 时，产品的日销售利润： ， 

∵  ，所以，m随t的增大而增大，

∴ 当 时，m最大值为：3600万元； 

当 时， ；

∵  ，所以，m随t的增大而减小，

∴ 当 时，产品的日销售利润m最大值为：3600万元， 

综上可知，当 天时，这家公司建材公司的日销售利润最大为3600万元．

2. 方案设计问题

例2   小张和小李两家进行装修。小张家需水泥240吨，小李家需水泥260吨；现有AB两厂，A厂有水泥200吨，B厂有水泥300吨，小张和小李两家从AB两厂购买水泥，从A厂往张李两家运水泥的费用分别为每吨20元和每吨25元；从B厂往张李两家运水泥的费用分别为每吨15元和每吨24元。问怎么样安排运送水泥的总费用最少。