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摘要首先介绍了一些分数阶微积分的基本概念，归纳了分数阶微分方程的三种求解方法：Adomian解法，迭代变分方法，卷积正则化方法.着重讨论了一种修正过后的卷积化算法，并给出了相应的应用.

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关键词： 卷积型正则化法  Adomian分解法  变分迭代法

 Three Methods to Solve Some Kinds of Fractional Differential Equations

Abstract

Firstly,some basic definitions on fractional differential equations are introduced  in this paper.Secondly,several methods such as adomian decomposition method,the variational iteration method,convolution-type regularization method to solve certain kinds of fractional differential equations are summarized. Finally, we propose a modified convolution-type regularization method and get the solution on some fractional differential equations by this method.

Key Words: the adomian decomposition method  the variational iteration method  the convolution-type regularization method

 目  录

摘要Ⅰ

Abstract-Ⅱ

目录Ⅲ

1 绪论-1

2 分数阶微积分的基本概念 1

3 Adomian分解法及其应用3

3.1 Adomian分解法分析-3

3.2 应用举例-7

4 变分迭代法及其应用-9

4.1 方法分析9

4.2 应用举例10

5 新的卷积型正则化法 -11

6 结论- 15

参考文献16

致谢17 

一  绪论

 分数阶微分方程在实际生活中有广泛的应用，它渗透在各个领域，如物理、力学、医药、生物等，具有广阔的发展空间。对于分数阶微分的求解后很多常用的办法，比如迭代变分法，Fourier变换法，Mittag-Leffler函数的方法和Laplace变换法等。本文主要是介绍了分数阶微分方程的一些基本定义，归纳了求解分数阶微分方程的三种方法，Adomian分解法，卷积正则化法，迭代变分法，并给出了相应的应用。

二  分数阶微积分的基本概念

分数阶微积分的定义形式有很多种，在此简明地介绍一些本文会涉及到的分数阶微积分的概念以及性质，即Riemann-Liouville(R-L),Caputo，Riesz-Feller

(R-F)分数阶积分和导数.

1、Riemann-Liouville(R-L)分数阶积分和导数

定义1  设 是定义在区间 上的函数，则阶数为  Riemann               -Liouville(R-L)分数阶积分[1]可以表示为

                 （2.1）

定义2  设 是定义在区间 上的函数，则阶数为  的Riemann -Liouville(R-L)分数阶导数[1]可以表示为

          （2.2）

特别地,当 时，有

                       （2.3）

由此可以看出，R-L分数阶导数可以看作是“先将1—α阶的积分凑成整数阶的积分后，再进行求导”，实际上它是由整数阶与分数阶导数复合而成的.

补充：

              （2.4）

    对任意的常数C，有

                   （2.5）

2、Caputo分数阶导数

定义3   设 ， ， ,则称

                         （2.6）

为阶数为 的Caputo分数阶积分.

类似的，当 =1时，可得

                       （2.7）

运用分部积分公式来计算，R-L分数阶导数和Caputo分数阶导数之间的关 是很容易得到,即：当  且 ，有 . (责任编辑：qin)