向量在高中数学中的应用(2)
时间:2020-06-26 08:26 来源:毕业论文 作者:毕业论文 点击:次
例1 已知向量m ⃗=(sinA,cosA)，n ⃗=（1，-2），且m ⃗•n ⃗=0， （1）求tanA 的值； （2）求函数f(x)=cos2x+tanAsinx (x∈R)的值域 解 （1）m ⃗•n ⃗=sinA-cos2A=0 因为cosA≠0，所以tanA＝2 （2）由（1）知 f(x)=cos2x＋tanAsinx =cos2x+2sinx =1－2sin2x＋2sinx =－2(sinx-1/2)2+3/2 因为x R，所以sinx∈［-1,1］ 当sinx＝1/2时，f(x)有最大值3/2 当sinx＝-1 时，f(x)有最小值-3.所以求函数f(x)的值域是［-3,3/2］ 评注：本题考查的主要内容为向量与三角函数求值运算的综合，用平面向量的数量积运算来解决问题。考察了向量的基本运算，难度小，运用简单。 例2 已知(a ) ⃗=(√3 sinx,m+cosx),b ⃗=(cosx,-m+cosx),且f(x)= (a ) ⃗•b ⃗ （1）求函数f(x)的解析式 （2）当x∈[-π/6,π/3]时，f(x)的最小值为-4，求此时的函数f(x)的最大值。并且求出此时相对应的x的值 解 (1) f(x)= (a ) ⃗•b ⃗=(√3 sinx,m+cosx) (cosx,-m+cosx) =√3 sinxcosx+(m+cosx)( -m+cosx) =√3 sinxcosx+cos^2x-m^2 (2) f(x)=(√3 sin2x)/2+(1+cos2x)/2-m^2 =sin(2x+π/6)+1/2-m^2 由于x∈[-π/6,π/3]，所以2x+π/6∈[-π/6,5π/6],所以sin(2x+π/6)∈[-1/2,1] 当sin(2x+π/6)=-1/2时，f(x)有最小值。 〖f(x)〗_min=-1/2+1/2-m^2=-4 m=2或m=-2 所以 〖f(x)〗_max=1+1/2-2=-1/2 此时 2x+π/6= π/2,x= π/6 评注：这道题目与例1相似，第一步主要考察的是向量基本知识，第二步则考察向量在三角函数中的应用，主要注意的是运算问题及三角函数的基本概念。难度不大，较易解答。 例3 设向量(a ) ⃗＝(4cos α，sin α)，(b ) ⃗＝(sin β，4cos β)，c ⃗＝(cos β，－4sin β)． (1)若(a ) ⃗与(b ) ⃗-2(c ) ⃗源`自,优尔`文.论"文'网[www.youerw.com垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|(b ) ⃗＋(c ) ⃗ |的最大值； (3)若tan〖α tanβ 〗＝16，求证：(a ) ⃗∥(b ) ⃗. 解 （1）由(a ) ⃗与(b ) ⃗－2(c ) ⃗垂直， 可以得到 (a ) ⃗•((b ) ⃗-2(c ) ⃗)＝(a ) ⃗•(b ) ⃗-2(a ) ⃗•c ⃗， 即4sin(α＋β)－8cos(α＋β)=0，tan(α＋β)=2. （2）|(b ) ⃗＋(c ) ⃗|^2＝((b ) ⃗＋(c ) ⃗)^2＝(b ) ⃗^2+(c ) ⃗^2+2(b ) ⃗•(c ) ⃗ ＝sin2β＋16cos2β＋cos2β＋16sin2β＋2(sin βcos β－16sin βcos β) ＝17－30sin βcos β ＝17－15sin 2β 当sin 2β=-1时，|(b ) ⃗＋(c ) ⃗ |^2有最大值，最大值为32，所以|(b ) ⃗＋(c ) ⃗ |的最大值为42. 证明 （3）由tan αtan β＝16，可以得到sin αsin β＝16cos αcos β， 即4 cos α•4cos β－sin αsin β＝0 (责任编辑：qin) |