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 1 关于艾森斯坦判别法

1.1艾森斯坦判别法

艾森斯坦判别法判别法是高等代数中最常见也是最普遍的判别不可约多项式的方法.

1.1.1定理：艾森斯坦判别法：设 是一个整系数多项式，如果现在存在一个素数 满足以下三点：（1） 不能整除 ；（2） 不能整除 ；（3） 整除   ，那么 在有理数域上不可约. 

例1：判别多项式 是否为不可约多项式. 

解：为不可约多项式.证明：取素数为 ，显然 不能整除 ， 的平方不能整除 能整除 .故根据艾森斯坦判别法 是不可约多项式.证毕.

1.1.2定理：艾森斯坦判别法的等价定理： 是一个整系数多项式，如果存在素数 满足以下三个条件：（1） 不能整除 ；（2） 整除 ；（3） 不能整除 ，那么 为有理数域上的不可约多项式. 

例2：判断 是否为有理数域上的不可约多项式. （本题很显然能找到素数 满足艾森斯坦判别法的等价判别法的三个条件，那么可以通过艾森斯坦判别法的等价定理简单推出 是有理数域上的不可约多项式.）

解： 为有理数域上的不可约多项式.证明：可取素数 ，那么满足以下三个条件：（1） 不能整除 ；（2） 能整除 ；（3） 不能整除 ，因此根据艾森斯坦判别法的1.1.2定理可知 为有理数域上的不可约多项式.

例3：存在一个整系数多项式 ，试判断其在有理数域上是否可约.