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证：取 则易知 为 的两个不同左陪集，且 由于 ，故 .同理， ，故有 ，故 .

3 与循环群相关的结论

引理2 若 为交换群， ， ，则 .

证：设 ，易知 ，故有 ，又因为    ，故 ，故 .同理可证 ，再利用 ，可得 ，故 ，故 .

命题4 若 为有限交换群， 为互不相同的素数， ，则 为循环群.

证：由命题2知， 中含有 阶元.不妨设对应的元素为 ，下证 ,对 做数学归纳，当 时，由引理2知结论成立，假设当 时，结论成立，则当 时，由于 为互不相同的素数，由归纳假设 ，又因为 ，由引理2知， ，故 为循环群，结论成立.

命题5 互素的二循环群的直积为循环群

证：设 ，则易知 的阶为 ，由于 ，故 为交换群.又因为 的阶分别为 ，由引理2知， 的阶为 ，故 为循环群.

命题6 任一有限循环群均可以分解成素数幂阶循环子群的直积，但素数幂阶循环群不能分解为两个真子群的直积

证：设 ，其中 为不同的素数，则由命题2知， 有 阶元，不妨设对应的元素为 ，则显然有 ，因为对于 ，由拉格朗日定理的推论知， ，而 ，由于

在循环群中，阶为 的元唯一，故 ，故 ，又因为 ,所以，群 是子群 的内直积.对于素数幂阶循环群，假设 可以表示成两个真子群 的内积，由命题10知，不妨设 ，则 ，矛盾,故结论成立.