逆向思维在高等数学中的应用(2)
时间:2017-05-23 19:39 来源:毕业论文 作者:毕业论文 点击:次
1．预备知识 1.1 定积分的定义： 定义1 设闭区间 上有 个点，依次为 , 它们把 分成 个小区间 ， .这些分点或这些闭子 区间构成对 的一个分割，记为 或 . 小区间 的长度是 ，并记 ， 称为分割 的模. 注 由于 , ，因此 可用来反映 被分割的 细密程度.另外，分割 一旦给出， 就随之而确定；但是，具有同一细度 的分割 却有无限多个. 1.2 (罗尔（Rolle）中值定理） 若函数 满足如下条件： (ⅰ） 在闭区间 上连续； (ⅱ) 在开区间（ ）上可导； (ⅲ) = ， 则在（ ）上至少存在一点 ，使得 =0. 罗尔定理的几何意义是说：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条水平切线. 1.3 数列极限的 定义 定义 设 为数列， 为定数.若对任给的正数 ，总存在正整数 ,使得 时有 则称数列 收敛于 称为数列 的极限，并记作 下面举例说明如何根据 定义来验证数列极限. 1.4 无穷小量的定义和定理 定义 设 在某 上有定义，若 . 则称 为当 时的无穷小量 定理3.12 设函数 在 上有定义，且有 . (ⅰ)若 ,则 ； （ⅱ）若 ，则 . 证 (ⅰ) （ⅱ） 1.5 有理函数的不定积分 有理函数是指由两个多项式函数的商所表示的函数，其一般形式为 ， 其中 为非负整数， 与 都是常数，且 .若 ，则称它为真分式；若 ，则称它为假分式. 2.逆向思文在定积分中的应用 2.1 例如，利用定积分的定义求极限： 设 (x)在 上连续，且f(x)>0，求 解：利用定积分的定义 2.2 逆用定积分的定义求极限 定积分是无限项和的极限： 逆向应用：无限项和的极限又可通过相应函数的定积分来计算．此方法是把求极限问题转化为某一函数在某一有限区间上的定积分． 此类题目的特点是:把无穷项和式的极限转化为某一函数 在区间 上的定积分，且把区间 等分， 中的 常取 的右端点 ，从而把无穷项和式的极限问题转化为求一个特定结构的和式极限. (责任编辑：qin) |