区间套定理及其应用+文献综述(2)
时间:2017-05-23 19:40 来源:毕业论文 作者:毕业论文 点击:次
同理可得递减的有界数列 也存在极限,并按区间套的条件(ii)有 联合(3)、(5)即得(2)式. 最后证明满足(2)的 是唯一的.设数 也满足 则由(2)式有 由区间套的条件(ii)得 故有 . 推论 若 是区间套 所确定的点,则对任给的 ,存在 ,使得当 时有 注 区间套定理中要求各个区间都是闭区间,才能保证定理的结论成立.对于开区间列,如 ,虽然其中各个开区间也是前一个包含后一个,且 ,但不存在属于所有开区间的公共点. 2.区间套定理在证明一些定理上的应用 2.1实数完备性中相关定理定理 2.1.1 用闭区间套定理证明魏尔斯特拉斯聚点定理 证 为一有界点集,则存在 ,使得 . 现将 等分为两个子区间.因为 为无限的点集,所以至少有一个子区间含有 中的无穷个点,记为 ,则 ,且 将 等分为两个子区间.那么至少有一个子区间含 中无穷个点,记这个区间为 ,则 ,且 将这样的手续无限进行下去,则得到一个区间列 ,满足 即 是闭区间套,且每一个闭区间全都含有 中无穷个点.由区间 套定理,存在唯一一点 为 中的点,对任意的 ,存在 ,当 时有 .从而 中含有 中无穷个点,则 为 的聚点. 2.1.2 用区间套定理证明有限覆盖定理 证明 假设该定理结论并不成立,即不存在 中的有限个开区间覆盖 . 将 等分为两个区间,则至少有一个区间不能用 中的有限个开区间来覆盖.记这个区间为 ,则 ,且 将 等分为两个区间,其中有一个区间不能用 中的有限个开区间来 (责任编辑：qin) |