矩阵的QR分解及程序设计(2)
时间:2017-05-23 19:43 来源:毕业论文 作者:毕业论文 点击:次
定义 1.1.5 设实数 与 满足 称 为Givens矩阵,也可以记为 .建立 的变换 ,使 , 这样的变换称为Givens变换.容易验证,当 时,存在角度 使得 Givens矩阵矩阵的性质： （1）Givens矩阵是正交矩阵,且具有 （2）设 ,则有 上式表明,当 时,选取 , 就使 . 1.2 线性无关向量组的Gram-Schmidet正交化过程 设 是n文欧氏空间中 个线性无关的向量,Gram-Schmidt正交化过程就是求取一组单位向量 ,使得: （1） 张成的空间等于 张成的空间,即 ; （2） 两两正交,即内积 遵循上述条件,可得如下的Gram-Schmidt正交化过程： （1）取 ,化为单位向量有 为 的向量范数. （2）取 , 从 可知 , 故 把 化为单位向量,有 （3）取 同理,从 , 可知 ,把 化为单位向量有 . 2.矩阵QR分解的常见方法及程序设计 2.1 利用Householder矩阵变换 2.1.1 QR分解的Householder方法 定理2.1 设 为非零列向量, 为单位列向量, 则存在Householder矩阵 ,使得 . 证明 当 时,取单位列向量 满足 ,则有 当 时,取 则有这里利用了等式 . 定理2.2 利用Householder变换证明任意 都可以进行 分解. 证明 将 进行列分块,即 ,易知,存在 阶Householder矩阵 ,使得 ,则 式中 . 再将 按列分块,即 .同理,有 阶Householder矩阵 ,使得 ,其中 .则有 阶Householder矩阵 ,使得 式中 . 同理,继续上述步骤,则在第 步有 由于 皆为Householder矩阵,则有 ,其中 为正交矩阵, 为上三角矩阵． (责任编辑：qin) |